[論文レビュー] Inference on Directionally Differentiable Functions

Zheng Fang, Andres Santos|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2014

Statistical Methods and Inference参考文献 38被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、方向微分可能パラメータの汎関数に対する推論のための一貫したブートストラップ法を開発し、関数が完全微分可能でない場合に標準的ブートストラップが失敗することを示している。関数の方向微分を一貫して推定できる修正されたリサンプリング方式を提案することで、非ガウス型極限分布下でも有効な推論が可能となり、単調性やモーメント不等式制約などの凸集合を含む仮説検定における局所的サイズ制御が可能になる。

ABSTRACT

This paper studies an asymptotic framework for conducting inference on parameters of the form $ϕ(θ_0)$, where $ϕ$ is a known directionally differentiable function and $θ_0$ is estimated by $\hat θ_n$. In these settings, the asymptotic distribution of the plug-in estimator $ϕ(\hat θ_n)$ can be readily derived employing existing extensions to the Delta method. We show, however, that the "standard" bootstrap is only consistent under overly stringent conditions -- in particular we establish that differentiability of $ϕ$ is a necessary and sufficient condition for bootstrap consistency whenever the limiting distribution of $\hat θ_n$ is Gaussian. An alternative resampling scheme is proposed which remains consistent when the bootstrap fails, and is shown to provide local size control under restrictions on the directional derivative of $ϕ$. We illustrate the utility of our results by developing a test of whether a Hilbert space valued parameter belongs to a convex set -- a setting that includes moment inequality problems and certain tests of shape restrictions as special cases.

研究の動機と目的

• 標準的ブートストラップ手法が、極限分布がガウス分布である場合に方向微分可能汎関数の推論において失敗する理由を解消すること。
• φが完全微分可能でないが方向微分可能であるパラメータθ₀に関するφ(θ₀)として定義されるパラメータのための一貫したリサンプリング方式を開発すること。
• φがθ₀で完全微分可能かどうかに依存する診断基準を用いて、ブートストラップの一貫性を評価すること。
• モーメント不等式モデルや形状制限問題など、凸集合を含む推論問題における局所的サイズ制御を確立すること。
• 方向微分可能性を活用することで、ランダムユーティリティモデルや単調性検定などの多様な計量経済学的問題における推論を統一的に扱う枠組みを構築すること。

提案手法

• 方向微分φ′_θ₀の一致推定量と、推定量θ̂_nの漸近的分布のブートストラップ近似を合成する修正されたブートストラップを提案する。
• Lipschitz連続性を満たし、確率的にφ′_θ₀に収束する方向微分推定量φ′_nの列を用いる。
• ヒルバート空間設定下で、射影作用素Π_Λと接錐T_θ₀を用いて微分推定量を定義する。
• 凸解析および射影理論の結果（例：Zeidler, 1984）を応用し、凸性制約下でも微分推定量の一貫性を保証する。
• 仮定3.3のもとで、微分推定量の一様収束性とLipschitz連続性を確認することで、一貫性を確立する。
• 方向微分φ′_θ₀(𝐺₀)を用いて、𝑟_𝑛(𝜙(𝜃̂_𝑛) − 𝜙(𝜃₀))の漸近的正規性を導出する。完全微分不可能な𝜙に対しても、Δ法を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的ブートストラップが、極限分布がガウス分布である方向微分可能パラメータの汎関数に対して一貫する条件は何か？
• RQ2 φが完全微分可能でない場合でさえ、𝜃̂_𝑛がブートストラップ一貫的であっても、なぜ標準的ブートストラップが失敗するのか？
• RQ3 標準的ブートストラップが失敗する状況でも、一貫性を保つ修正されたリサンプリング方式を構築できるか？
• RQ4 モーメント不等式モデルなどの凸集合を含む推論問題において、どのようにして局所的サイズ制御を達成できるか？
• RQ5 非ガウス型漸近的設定下で、ブートストラップ一貫性の診断に用いられる、微分可能性に基づく解析的条件は何か？

主な発見

• 極限分布がガウス分布である場合、φがθ₀で完全微分可能であることは、標準的ブートストラップの一貫性の必要十分条件である。
• 提案された修正ブートストラップは、標準的ブートストラップが失敗する場合でも、方向微分推定量φ′_𝑛が確率的にφ′_θ₀に収束する限り、一貫性を保つ。
• 本手法は、ヒルバート空間値パラメータが凸集合に属するかどうかの仮説検定において、局所的サイズ制御を保証する。これには、モーメント不等式問題や形状制限問題が含まれる。
• Λが凸である場合、射影Π_Λと接錐𝑇_θの収束性を用いて、微分推定量φ′_𝑛の一貫性を確立する。
• 𝜙(𝜃̂_𝑛)の漸近的分布は、φ′_θ₀(𝐺₀)によって特徴づけられ、完全微分不可能な関数へのΔ法の一般化を実現する。
• 本稿は、方向微分可能性を活用することで、ランダムユーティリティモデルや単調性検定などの非標準的問題における推論を統一的に扱うフレームワークを提供する。