[論文レビュー] Inference on multivariate ARCH processes with large sizes

Gilles Zumbach|ArXiv.org|Mar 9, 2009

Advanced Statistical Process Monitoring被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、長記憶と2つの追加の線形項を備えた、次元が大きい金融時系列における不漁の残差を改善するための、パラメータを最小限に抑えた多変量ARCHモデルを提案する。不漁の残差が無相関であるにもかかわらず、高次元共分散行列に十分な情報が欠けているため、残差の大きさが単位から著しく逸脱しており、最適なパrameter化であっても推論の精度が制限されるという根本的な限界が明らかになった。

ABSTRACT

The covariance matrix is formulated in the framework of a linear multivariate ARCH process with long memory, where the natural cross product structure of the covariance is generalized by adding two linear terms with their respective parameter. The residuals of the linear ARCH process are computed using historical data and the (inverse square root of the) covariance matrix. Simple measure of qualities assessing the independence and unit magnitude of the residual distributions are proposed. The salient properties of the computed residuals are studied for three data sets of size 54, 55 and 330. Both new terms introduced in the covariance help in producing uncorrelated residuals, but the residual magnitudes are very different from unity. The large sizes of the inferred residuals are due to the limited information that can be extracted from the empirical data when the number of time series is large, and denotes a fundamental limitation to the inference that can be achieved.

研究の動機と目的

• 数百～数千の資産を含む大規模なポートフォリオに適した、計算効率的でパラメータを最小限に抑えた多変量ARCHモデルの開発。
• 時系列数Nが大きい場合に高次元共分散行列を推定する課題に対処すること。標準的なGARCHモデルではパrameterの爆発により、Nが大きいと実用的でなくなる。
• 特に高次元設定において、独立性および単位分散に関する新しい指標を用いて、残差が白色ノイズとしての品質を評価すること。
• 最適なモデル構造であっても、共分散行列の小さな固有値に起因する推論の根本的限界を特定および定量化すること。

提案手法

• 共分散行列はリターンの二重線形形式として構築され、長記憶カーネルに加え、2つの追加の線形項（縮小と正則化）を組み込んで、逆ボラティリティの安定化を図る。
• 残差は、推定された共分散行列の逆平方根を用いて実現リターンを変換することで計算され、モデルの仮定のもとでは無相関白色ノイズになるはずである。
• 独立性および単位分散の新しい指標を用いて、異なるカーネルやパrameter選択におけるモデル性能の診断ツールを提供する。
• 分散方程式に線形でアフィンでない構造を採用し、平均-ボラティリティパラメータを避けて、重みの再帰的計算により解析的ボラティリティ予測を可能にする。
• 等重み、指数型、長記憶型の複数のカーネルを評価し、安定した白色ノイズに近い残差を生成する性能を比較する。
• 共分散行列に正則化を適用して、小さな固有値に起因する問題を緩和する。これは、LedoitとWolf（2004a）の手法にインspiredされ、特にポートフォリオ最適化において有効である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長記憶に加え、パラメータを2つだけ追加した最小限の多変量ARCHモデルが、高次元金融データにおいて無相関の残差を生成できるか？
• RQ2 高次元系では、残差が無相関であっても、なぜ単位分散に達しないのか？
• RQ3 共分散行列の固有値構造、特に非常に小さなまたはゼロの固有値の存在が、逆ボラティリティ推定の信頼性にどのように影響するか？
• RQ4 標準的な多変量GARCHモデルが、パrameterの爆発と経済的解釈性の欠如により、実用的応用でどの程度失敗するのか？
• RQ5 実証的データが限られた情報を提供する場合に、正則化および縮小技術が高次元共分散行列における推論を効果的に安定化できるか？

主な発見

• 共分散行列に組み込まれた2つの追加項（縮小と正則化）により、残差の白さが顕著に向上し、自己相関が低減された。
• 無相関の残差を達成したにもかかわらず、その大きさは単位から著しく逸脱しており、推論精度における根本的限界が示された。
• 共分散行列の固有値の減衰は指数的であり、小さな固有値の集中が逆ボラティリティ計算を不安定にする。
• 数学的に定義された行列であっても、非常に小さな固有値の蓄積により、共分散行列の逆平方根が悪条件化される。
• モデルの解析的ボラティリティ予測は、再帰的重みシステムにより任意の予測期間に対して計算可能であり、シミュレーションを用いずに効率的な計算が可能である。
• 結果から、高次元推論における根本的な情報ボトルネックが存在することが示唆された。実証的データに限られた情報がある限り、モデル構造にかかわらず逆ボラティリティの正確な推定は不可能である。