[論文レビュー] Infimum of the exponential volume growth and the bottom of the essential spectrum of the Laplacian

Hironori Kumura|ArXiv.org|Jul 2, 2007

Analytic Number Theory Research参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、非コンパクトなリーマン多様体上のラプラシアンの本質的スペクトルの下端に関するブルックスの2つの定理を、指数的体積成長条件におけるlimsupをliminfに置き換えることで是正する。無限体積および有限体積の両方の多様体に対して、本質的スペクトルの下端が指数的体積成長率の下限の2乗によって上から抑えられることを証明し、ブルックスの元々の結果よりも鋭い推定値が得られることを示す。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to point out that `supremum' in two inequalities of Brooks should be replaced with `infimum'. The results of this paper are already known by Professor Higuci. Hence, I want to delete this paper from this preprint server.

研究の動機と目的

• 完全非コンパクトなリーマン多様体上のラプラシアンの本質的スペクトルの下端に関するブルックスの定理における誤りを是正すること。
• 無限体積および有限体積の両方の多様体に対して、ブルックスの不等式におけるlimsupをliminfに置き換える必要があることを示すこと。
• 指数的体積成長の下限を用いて、本質的スペクトルの下端に対するより鋭い上界を確立すること。
• 体積成長が振動する具体例を用いて、改善された定理の鋭さを示すこと。
• 距離球が等周的推定においてなぜ最適でないかを議論し、被覆変換された球の有限個の和を代替候補として提案すること。

提案手法

• 指数的体積成長率μ_infおよびμ_f,infの定義において、ブルックスの定理を再定式化し、limsupをliminfに置き換える。
• ブルックスの定理2.1の変種を適用し、M−K上のディリクレ・ラプラシアンのスペクトルギャップとe^{2αr(x)}の可積分性を関連付ける。
• 背理法を用いる：α > μ_inf/2と仮定すると、∫_M-K e^{2αr(x)} dv_M = ∞となるが、これは定理2.1の可積分性条件に反する。
• 体積成長が0とn−1の間を振動する回転対称多様体の具体例を構成し、μ_inf = 0である一方でμ = n−1であることを示す。
• Følner-Brooks定理を用いて、アメニタリーな被覆では距離球が等周的推定において最適でないことを主張し、被覆変換された球の有限個の和をより良い候補として提案する。
• Kumura (K1, K2) が提示した基準を適用し、曲率および距離関数の条件の下で、全本質的スペクトルを特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜブルックスの元々の定理でlimsupが使われていると、本質的スペクトルの下端を抑えるのに不適切なのか？
• RQ2 liminfを用いて定義される指数的体積成長率は、本質的スペクトルの下限に対してより鋭い上界を提供できるか？
• RQ3 M−K上のディリクレ・ラプラシアンが、変分原理を用いたスペクトル下端の特徴付けにおいて果たす役割は何か？
• RQ4 体積成長の振動パターンは、スペクトルの境界の鋭さにどのように影響するか？
• RQ5 アメニタリーな被覆では、なぜ距離球が等周的候補として不適切であり、代替案は何か？

主な発見

• 定理1.3はブルックスのlimsupをliminfに置き換え、無限体積多様体に対してminσ_ess(−Δ) ≤ μ_inf²/4を証明する。
• 定理1.4はブルックスのlimsupをliminfに置き換え、有限体積多様体に対してminσ_ess(−Δ) ≤ μ_f,inf²/4を証明する。
• 具体的な例により、μ_inf = 0である一方でμ = n−1であり、minσ_ess(−Δ) = 0であることが示され、定理1.3が定理1.1よりも厳密に鋭いことが証明される。
• アメニタリーな被覆（例えば、可解群）ではμ_inf > 0であるがminσ_ess(−Δ) = 0であるため、定理1.3が常に鋭くないことが示される。これは等周的候補が不適切であるため。
• Følner-Brooks定理より、アメニタリーな場合、距離球よりも被覆変換された球H_iの有限個の和がより良い等周的候補である。
• 曲率および距離関数の条件の下で、全本質的スペクトルはσ_ess(−Δ) = [c²/4, ∞)となる。ここでcはr→∞のときのΔrの極限である。