[論文レビュー] Infinitary and Cyclic Proof Systems for Transitive Closure Logic

Liron Cohen, Reuben N. S. Rowe|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Logic, programming, and type systems参考文献 19被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、無限降下に基づく無限的証明体系を用いて、標準的意味論において切断なしで完全である、推移的閉包論理（TC論理）のための無限的証明体系を提案する。この体系は明示的帰納法システムを包含しており、循環的（正則な）証明に制限することで、帰納的推論のための有効で自動化可能な体系が得られることを示している。さらに、ヘンキン意味論下での完全性を保証する単純な句構造的基準を提示している。

ABSTRACT

Transitive closure logic is a known extension of first-order logic obtained by introducing a transitive closure operator. While other extensions of first-order logic with inductive definitions are a priori parametrized by a set of inductive definitions, the addition of the transitive closure operator uniformly captures all finitary inductive definitions. In this paper we present an infinitary proof system for transitive closure logic which is an infinite descent-style counterpart to the existing (explicit induction) proof system for the logic. We show that, as for similar systems for first-order logic with inductive definitions, our infinitary system is complete for the standard semantics and subsumes the explicit system. Moreover, the uniformity of the transitive closure operator allows semantically meaningful complete restrictions to be defined using simple syntactic criteria. Consequently, the restriction to regular infinitary (i.e. cyclic) proofs provides the basis for an effective system for automating inductive reasoning.

研究の動機と目的

• 標準的意味論下での推移的閉包論理（TC論理）の完全で無限的な証明体系の構築を目的とする。
• 無限降下に基づく無限的証明が、明示的帰納法システムを包含することを示す。
• 帰納的推論のための有効で自動化可能な体系をもたらす、文法的制限（正則／循環的証明）を同定する。
• 単純な文法的基準を用いて、ヘンキン意味論下での循環的証明の完全性を確立する。
• TC論理の文脈において、暗黙的（無限的）帰納法と明示的（LKID風）帰納法の関係を調査する。

提案手法

• 無限高さで非整礎な木構造に、無限降下条件を組み合わせたTC論理の無限的証明体系を提案する。
• 無限降下の原理を採用し、証明内のすべての無限パスが、整礎集合の要素へと項または論理式をたどる。
• 個別の帰納法ルールを避けるために、単一の推移的閉包作用素により、すべての帰納的定義を一様に扱う。
• 無限的証明を循環的（正則な）証明に制限し、グラフとして有限に表現可能にすることで自動化を可能にする。
• 具体的には、サイクル構造と項の降下を用いた文法的基準を導入し、ヘンキン意味論下での完全な部分集合を定義する。
• 本システムをLKIDおよびCLKIDωと比較し、TC論理がLKIDの帰納的機構を包含しており、より一貫性のある枠組みを提供することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的意味論下で、切断なしで完全なTC論理の無限的証明体系を構築できるか？
• RQ2 この無限的体系は、LKIDのような明示的帰納法システムとどのように関係するか？
• RQ3 この体系における循環的証明は、完全性を保ちつつ有効に自動化可能か？
• RQ4 ヘンキン意味論下で、循環的証明の完全性を保証する文法的基準は存在するか？
• RQ5 TC論理の相対的表現力はLKIDと比べてどうか？ また、両者の証明体系はどのように比較できるか？

主な発見

• 無限的証明体系は切断なしで、標準的意味論下で完全であり、明示的帰納法システムを包含している。
• 単純な文法的基準を用いることで、循環的証明に制限した体系は、ヘンキン意味論下でも健全かつ完全である。
• 本体系における循環的証明は、グラフとして有限に表現可能であり、帰納的推論の有効な自動化を可能にする。
• 推移的閉包作用素は、すべての有限的帰納的定義を一様に捉え、個別の帰納法ルールの必要性を排除する。
• 本体系はLKID風の形式化を包含しており、TC論理が帰納的推論のより一貫性のある基盤である可能性を示唆する。
• RTCGとCRTCωGの関係は未解決のままであり、一般に循環的でない体系と循環的体系が同値であるかどうかも未解決である。