[論文レビュー] Infinite algebraic subgroups of the real Cremona group

Maria Fernanda Robayo, Susanna Zimmermann|Osaka City University (Osaka City University)|Dec 1, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、実クリーモナ群 Birℝ(ℙ²) のすべての最大無限代数的部分群を自己同型類型で分類し、6次実デル・ペzzo表面と実放物線束から生じる8つの異なる自己同型類型を特定する。主な結果は、実平面クリーモナ群がその無限代数的部分群の可算個の合併によって生成されないことであり、これは群の代数的構造が可算生成を超えて非可算的であることを示している。

ABSTRACT

We give the classification of the maximal infinite algebraic subgroups of the real Cremona group of the plane up to conjugacy and present a parametrisation space of each conjugacy class. Moreover, we show that the real plane Cremona group is not generated by a countable union of its infinite algebraic subgroups.

研究の動機と目的

• 実クリーモナ群 Birℝ(ℙ²) のすべての最大無限代数的部分群を自己同型類型で分類すること。
• そのような部分群の各自己同型類型に対応するパラメータ空間を提供すること。
• 実クリーモナ群がその無限代数的部分群の可算個の合併によって生成可能かどうかを調査すること。
• 実有理被覆曲面における被覆微分同相写像および代数的群作用の構造を理解すること。

提案手法

• 特に6次実デル・ペzzo表面およびヒルツェブルチ表面を含む最小実滑らかで特異点のない代数的表面の分類を活用すること。
• ピカール群作用と幾何的実現を介して、実有理被覆曲面の自己同型群を分析すること。
• 基本的リンクと被覆写像の理論を用いて、代数的部分群の自己同型類型を分類すること。
• Abelian化写像 Birℝ(ℙ²) → ⊕ℝ ℤ/2ℤ を用いて、部分群が商群にどのように反映されるかをテストすること。
• 実または非実共役点の吹き上げを含む幾何的データを用いて、各自己同型類型の明示的パラメータ化を構成すること。
• 群論的および幾何的議論を用いて、同定された部分群の最大性および非同型性を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Birℝ(ℙ²) のどの無限代数的部分群が包含関係において最大であり、それらはどのように自己同型類型で分類可能か？
• RQ2 6次実デル・ペzzo表面および実放物線束の自己同型群は、実クリーモナ群の構造にどのように寄与するか？
• RQ3 実クリーモナ群は、その無限代数的部分群の可算個の合併によって生成可能か？
• RQ4 これらの無限代数的部分群は、Abelian化写像 Birℝ(ℙ²) → ⊕ℝ ℤ/2ℤ においてどのように写されるか？
• RQ5 吹き上げた点の幾何的配置（実または非実共役対）は、自己同型群の構造にどのように影響するか？

主な発見

• Birℝ(ℙ²) には、6次実デル・ペzzo表面および実放物線束から生じる8つの自己同型類型の最大無限代数的部分群が存在する。
• 最大部分群には PGL₃(ℝ)、PO₃,₁(ℝ)、(PGL₂(ℝ) × PGL₂(ℝ)) ⋊ ⟨τ⟩、および SO₂(ℝ)²、(ℝ*)²、GL₂(ℝ)/μₙ を含むさまざまな半直積が含まれる。
• ℱ₀ 上の2つの実点を吹き上げて得られる6次実デル・ペzzo表面の自己同型群は、分裂完全系列 1 → (ℝ*)² → G → D₆ → 1 に適合する。
• ℱ₀ 上の非実共役点の対を吹き上げて得られる6次実デル・ペzzo表面の自己同型群は、分裂完全系列 1 → SO₂(ℝ)² → G → D₆ → 1 に適合する。
• ℚ₃,₁ 上の非実共役点を吹き上げることで得られる実放物線束に対しては、自己同型群が 1 → SO₂(ℝ) ⋊ ℤ/2ℤ → G → HΔ → 1 に適合し、HΔ は ℙ¹ 上の有限点集合を保存する。
• 実クリーモナ群 Birℝ(ℙ²) は、その無限代数的部分群の可算個の合併によって生成されない。特に、族 (7) に属する一部の部分群は、Abelian化群 ⊕ℝ ℤ/2ℤ において非自明な像を持つためである。