[論文レビュー] Infinite computations with random oracles

Merlin Carl, Philipp Schlicht|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2013

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、全測度、正の測度、余第一性、非零測度ボレル集合などの大きな集合のオракルに関して計算可能である実数が、一般にオラクルなしでも計算可能であるかどうかを調査する。ITTM、ITRM、α-チューリング機械などの大多数の無限時間マシンモデルでは、このような一様なオラクル集合からの計算可能性が標準的計算可能性を意味するが、順序数チューリング機械（OTM）ではその答えがZFCとは独立であることが示され、これらのモデルが確率的仮定下で示す挙動の根本的な相違を浮き彫りにする。

ABSTRACT

We consider the following problem for various infinite time machines. If a real is computable relative to large set of oracles such as a set of full measure or just of positive measure, a comeager set, or a nonmeager Borel set, is it already computable? We show that the answer is independent from ZFC for ordinal time machines (OTMs) with and without ordinal parameters and give a positive answer for most other machines. For instance, we consider, infinite time Turing machines (ITTMs), unresetting and resetting infinite time register machines (wITRMs, ITRMs), and α-Turing machines for countable admissible ordinals α.

研究の動機と目的

• 全測度、正の測度、余第一性、非零測度ボレル集合などの大きなオラクル集合に関して計算可能な実数が、一般にオラクルなしでも計算可能であるかどうかを特定すること。
• 無限時間計算モデルの文脈におけるチューリング＝チャーチの thesis の頑健性を調査すること。
• ランダム性および一般性がオラクル計算における役割を検討すること、特にランダムまたは一般のオラクルが非計算可能な実数を生じるかどうかを検討すること。
• OTM、ITTM、ITRM、α-チューリング機械などの異なる無限時間マシンモデルが、オラクル集合のさまざまな「大きさ」の概念下でどのように振る舞うかを比較すること。
• 測度論的または位相的「大きさ」条件のもとでの相対的計算可能性と絶対的計算可能性の境界を明確にすること。

提案手法

• OTM、ITTM、ITRM（リセットなしおよびリセットあり）、および可算適当順序数 α における α-チューリング機械の複数の無限時間マシンモデルにおけるオラクル計算を分析する。
• 全測度、正の測度、余第一性、非零測度ボレル集合などの測度論的および位相的「大きさ」の概念をオラクル集合に適用する。
• 定義可能および構成可能の技法、特に $L_{\beta}$-階層および $L_{\text{ord}}$-構造を用いて、停止時間および計算可能性レベルを分析する。
• 一般性の議論を用い、$L_{\beta}$ 上のコーエン一般実数を用いて、特定のオラクルが計算の適当性および構成可能レベルを保存することを示す。
• 強制法およびランダム実数理論を用い、ある実数が正の測度集合または余第一集合内のすべてのオラクルから計算可能であるならば、それが低レベルの構成可能階層に属することを示す。
• 相互一般性を有する $L_{\beta}$ 上のオラクルが交差して $L_{\beta}$ を与えることから、計算された実数が $L_{\beta}$ に属し、したがって計算可能であると結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限時間チューリング機械（ITTM）において、正の測度集合内のすべてのオラクルから計算可能であることは、標準的計算可能性を意味するか？
• RQ2 順序数チューリング機械（OTM）において、順序数パラメータを含む・含まないにかかわらず、オラクル集合の大きさ問題の答えはZFCとは独立か？
• RQ3 リセットなしおよびリセットありの無限時間レジスタ機械（wITRM、ITRM）において、非零測度ボレル集合内のオラクルから計算可能であることは、標準的計算可能性を意味するか？
• RQ4 可算適当順序数 α における α-チューリング機械において、正の測度集合または非零測度ボレル集合内のオラクルから計算可能であることは、α-計算可能性を意味するか？
• RQ5 $L_{\beta}$ 上のオラクルの相互一般性が、それらから計算された実数が $L_{\beta}$ に属し、したがって計算可能であることを保証する条件は何か？

主な発見

• 無限時間チューリング機械（ITTM）において、非零測度ボレル集合内のオラクルから書き込み可能（最終的書き込み可能、偶然書き込み可能）であることは、標準的書き込み可能性を意味する。
• リセットなしおよびリセットありの無限時間レジスタ機械（wITRM、ITRM）の両方において、正の測度集合または非零測度ボレル集合内のオラクルから計算可能であることは、標準的計算可能性を意味する。
• すべての（および無限に多くの）可算適当順序数 α に対して、非零測度ボレル集合または正の測度集合内のオラクルから計算可能であることは、α-チューリング機械における α-計算可能性を意味する。
• 順序数チューリング機械（OTM）において、大きなオラクル集合が標準的計算可能性を意味するかどうかの答えは、順序数パラメータの有無に関わらずZFCとは独立である。
• OTMの停止時間の上限 η は、$\bar{\alpha} < \eta$ を満たす。ここで $\bar{\alpha}$ は、ある $\beta > \bar{\alpha}$ に対して $L_{\bar{\alpha}}$ が $L_{\beta}$ と論理的に同値であるような最小の順序数である。
• コーエン一般実数が $L_{\alpha+1}$ 上で生成される余第一集合 C 内のすべてのオラクルから計算可能な実数 x が与えられれば、$x \in L_{\alpha}$ であり、したがって x は α-計算可能である。