[論文レビュー] Infinite dimension of solutions for Dirichlet problem II

Vladimir Ryazanov|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2014

Analytic and geometric function theory参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、単位円板における調和関数の空間で、ほとんど everywhere に非接線的境界極限がゼロであるものの、無限次元であることを証明している。特異測度（段階関数やカントール関数を含む）を用いたポアソン＝シュテルツィェス積分を用いて、零境界値を持つディリクレ問題の非自明な解の非可算族を構成し、零境界データのもとでも無限次元の解空間が存在することを示している。

ABSTRACT

It is proved that the dimension of the space of solutions of the Dirichlet problem for the harmonic functions in the unit disk with nontangential boundary limits 0 a.e. is infinite.

研究の動機と目的

• 単位円板における調和関数の空間で、ほとんど everywhere に非接線的境界極限がゼロであるものの、無限次元であることを確立すること。
• 段階関数やカントール関数を含む特異測度を用いて、このような解の明示的例を構成すること。
• これらの解が、$ L^1 $ 関数のポアソン積分によって表現できないこと、したがって $ p > 1 $ の標準的な $ h_p $ 現象の外にあることを示すこと。
• このような解の空間にシュレーディンガー基底が存在することを示し、可分性および無限次元性を示すこと。
• 解空間のハメル基底の濃度が連続体と等しいかどうかという未解決の問題を提起すること。

提案手法

• 有界変動をもつ特異関数 $ \Phi $ を用いて、ポアソン＝シュテルツィェス積分による調和関数を構成する：$ u(z) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} P_r(\vartheta - t) \, d\Phi(t) $。
• 点 $ \vartheta_0 \in (0,2\pi) $ でジャンプする段階関数 $ \Phi_{\vartheta_0} $ を用い、明示的な解 $ u(z) = P_r(\vartheta - \vartheta_0) $ を得る。
• カントール関数 $ \varphi $ を用いて $ \Phi(t) = \varphi(t/2\pi) $ を定義し、連続的特異測度とそれに対応する調和関数を得る。
• $ \zeta_n = e^{i\vartheta_n} $、$ \vartheta_n = \pi(2^{-1} + \cdots + 2^{-n}) $ とおくとき、関数 $ u_n(z) = \text{Re}\left( \frac{\zeta_n + z}{\zeta_n - z} \right) $ を定義する。
• 絶対収束級数 $ u = \sum \gamma_n u_n $ で、$ \gamma \in l^1 $ を満たすすべての関数の集合として $ \mathcal{H}_1 $ を定義し、局所一様収束を保証する。
• $ \{u_n\} $ が $ \mathcal{H}_1 $ のシュレーディンガー基底をなすこと、$ \zeta_n $ で消えないことから、無限次元性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位円板における調和関数の空間で、ほとんど everywhere に非接線的境界極限がゼロであるものは、無限次元であるか？
• RQ2 零境界値を持つディリクレ問題の非自明な解の明示的構成は可能か？ そのような解は $ h_p $（$ p > 1 $）に属さないか？
• RQ3 このような解は、特異測度を用いたポアソン＝シュテルツィェス積分で表現可能か？
• RQ4 解空間はシュレーディンガー基底をもつのか？ その位相的構造はいかなるものか？
• RQ5 すべてのこのような特異解の空間のハメル基底の濃度はどのくらいか？

主な発見

• 単位円板における調和関数の空間で、非接線的境界極限がほとんど everywhere にゼロであるものは、無限次元である。
• 段階関数やカントール関数などの特異測度を用いたポアソン＝シュテルツィェス積分によって構成された解は、非自明な調和関数であり、ほとんど everywhere に非接線的にゼロに収束する。
• $ \zeta_n = e^{i\vartheta_n} $、$ \vartheta_n = \pi(2^{-1} + \cdots + 2^{-n}) $ とおくとき、関数 $ u_n(z) = \text{Re}\left( \frac{\zeta_n + z}{\zeta_n - z} \right) $ は空間 $ \mathcal{H}_1 $ のシュレーディンガー基底をなす。
• $ \mathcal{H}_1 $ は、$ \zeta_0 = -1 $ および $ \zeta_n $（$ n = 1,2,\ldots $）を除くすべての境界点で非接線的極限がゼロである調和関数からなる。
• これらの解は、任意の $ p > 1 $ に対して $ h_p $ には属さない。なぜなら、それらは $ L^1 $ 関数のポアソン積分によって表現できないからである。
• $ \mathcal{H}_1 $ は $ h_1 $ に含まれる。なぜなら、$ \Phi = \sum \gamma_n \Phi_{\vartheta_n} $ は有界変動をもち、$ \gamma \in l^1 $ であるからである。