[論文レビュー] Infinite-dimensional bilinear and stochastic balanced truncation

Simon Becker, Carsten Hartmann|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2018

Model Reduction and Neural Networks参考文献 16被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、量子力学からのヒルバート空間技法を用いて、無限次元の双線形および確率的システムへのバランストレントレーションの拡張を試み、混合ハードィ空間誤差境界を確立し、ウィーナー雑音によって駆動されるモデル還元の収束を証明する。

ABSTRACT

Along the ideas of Curtain and Glover, we extend the balanced truncation method for infinite-dimensional linear systems to bilinear and stochastic systems. Specifically , we apply Hilbert space techniques used in many-body quantum mechanics to establish error bounds for the truncated system and prove convergence results. The functional analytic setting allows us to obtain mixed Hardy space error bounds for both finite-and infinite-dimensional systems, and it is then applied to the model reduction of stochastic evolution equations driven by Wiener noise.

研究の動機と目的

• 無限次元の双線形および確率的システムに対する体系的なモデル還元手法の欠如に対処する。
• 非有界作用素と確率的入力のため、このようなシステムにおける誤差推定と収束の課題を克服する。
• 全システムと削減されたシステムの間の誤差境界と収束証明を可能にする関数解析的枠組みを構築する。
• ウィーナー雑音によって駆動される確率的発展方程式にこの手法を適用し、低次元モデルにおけるロバスト性と精度を保証する。

提案手法

• 多数体量子力学からのヒルバート空間技法を、無限次元設定におけるシステムのバランス化解析に適応する。
• 混合ハードィ空間誤差境界を用いて、全システムと削減システム間の近似誤差を定量化する。
• ヒルバート空間枠組みにおける作用素のグラミアンに基づくバランス化により、バランストレントレーション手順を定式化する。
• 適切なスペクトル的および解析的条件下で、削減されたシステムが元のシステムに収束することを確立する。
• 乗法的ウィーナー雑音を伴う確率的発展方程式にこの枠組みを適用し、確率的文脈における誤差制御を保証する。
• 無限次元状態空間と非有界作用素を厳密に取り扱うための関数解析的ツールを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数解析的手法を用いて、バランストレントレーションを無限次元双線形システムに体系的に拡張できるか？
• RQ2 無限次元双線形および確率的システムの削減されたバージョンにおける誤差境界を厳密に導出できるか？
• RQ3 確率的設定において、低次元モデルが元のシステムに収束するための条件は何か？
• RQ4 混合ハードィ空間誤差境界は、有限次元および無限次元システムを統一的な枠組みで適用可能か？
• RQ5 本手法は、ウィーナー雑音によって駆動される確率的発展方程式に対してどのように機能するか？

主な発見

• 本論文は、有限次元および無限次元システムの両方に対して混合ハードィ空間誤差境界を確立し、定量的誤差推定を可能にする。
• システム作用素の適切なスペクトル的および解析的条件下で、削減されたシステムが元のシステムに収束することが証明される。
• ヒルバート空間技法に基づく関数解析的枠組みにより、非有界作用素を有するシステムに対してもロバストで適用可能であることが保証される。
• 本手法により、ウィーナー雑音によって駆動される確率的システムへのバランストレントレーションの拡張に成功し、体系的な還元手法を提供する。
• 誤差境界は、確率的発展方程式に由来する広範なクラスの無限次元システムに適用可能である。
• ハードィ空間ノルムを用いることで、決定的および確率的システムのモデル還元を統一的な理論的枠組みで統合する。