[論文レビュー] Infinite-Dimensional Calculus Under Weak Spatial Regularity of the Processes

Franco Flandoli, Francesco Russo+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、弱い空間的正則性の下で無限次元空間への伊藤の公式の拡張を試み、2つのバージョンを導入する。1つは群の生成子を含む場合のキャンセレーション効果を用いたヒルベルト空間におけるものであり、もう1つは積構造を持つ特別なバナッハ空間における極限手続きによるものである。主な貢献は、ノイズ成分における構造的なキャンセレーションを活用することで、経路依存的な伊藤積分の計算を可能にすることにある。

ABSTRACT

Two generalizations of Itô formula to infinite-dimensional spaces are given. The first one, in Hilbert spaces, extends the classical one by taking advantage of cancellations when they occur in examples and it is applied to the case of a group generator. The second one, based on the previous one and a limit procedure, is an Itô formula in a special class of Banach spaces having a product structure with the noise in a Hilbert component; again the key point is the extension due to a cancellation. This extension to Banach spaces and in particular the specific cancellation are motivated by path-dependent Itô calculus.

研究の動機と目的

• 弱い空間的正則性の下で、古典的伊藤の公式を無限次元ヒルベルト空間へ一般化すること。
• ノイズがヒルベルト成分に作用する積構造を持つ特別なクラスのバナッハ空間へ、伊藤の公式を拡張すること。
• 確率積分におけるキャンセレーションを活用することで、経路依存的伊藤積分の計算を可能にすること。
• ヒルベルト空間の結果をバナッハ空間の設定へとつなぐ極限手続きを開発すること。
• 古典的正則性仮定が成り立たない状況における確率積分の厳密な枠組みを提供すること。

提案手法

• 群の生成子が関与する場合の確率積分におけるキャンセレーション効果を活用して、ヒルベルト空間における伊藤の公式を導出する。
• ヒルベルト空間の結果を、積構造を持つ特別なクラスのバナッハ空間へと拡張するための極限手続きを用いる。
• ノイズ成分がヒルベルト部分空間に収束することを保証し、拡張に必要なキャンセレーション機構を維持する。
• 空間的正則性が弱いか、存在しない経路依存的確率過程に、拡張された公式を適用する。
• 無限次元のセミマルティングールと弱微分の文脈において、微積分を形式化する。
• バナッハ空間の構造的仮定とノイズ分解に基づいて、公式の妥当性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間的正則性が弱い場合、どのようにして伊藤の公式を無限次元ヒルベルト空間へ一般化できるか？
• RQ2 どのような構造的条件が、ヒルベルト空間を超えたバナッハ空間への伊藤の公式の拡張を可能にするか？
• RQ3 確率積分におけるキャンセレーションは、どのようにして経路依存的設定への拡張を可能にするか？
• RQ4 ヒルベルト空間とバナッハ空間における伊藤の公式の定式化の間をつなぐ極限手続きは、どのようにして機能するか？
• RQ5 バナッハ空間の積構造は、ノイズがヒルベルト成分に限定される状況で、拡張を可能にする上で果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、特に群の生成子が関与する場合の確率積分におけるキャンセレーション効果を活用することで、弱い空間的正則性のもとでヒルベルト空間への伊藤の公式の拡張に成功した。
• 積構造を持つ特別なクラスのバナッハ空間において、新たな伊藤の公式が確立された。ここではノイズがヒルベルト部分空間に限定されており、キャンセレーション機構の利用が可能になった。
• ヒルベルト空間からバナッハ空間へ公式を拡張する際に用いられた極限手続きは、キャンセレーション構造を保存しており、極限においても公式の有効性が保証された。
• この枠組みは、古典的正則性仮定が満たされない無限次元において、経路依存的伊藤積分の計算を可能にする。
• キャンセレーション機構は本質的かつ非自明であり、プロセスの弱い正則性条件のもとでも公式が成立することを可能にしている。
• これらの結果は、古典的伊藤積分が失敗する無限次元的かつ経路依存的な設定における確率解析の基盤的ツールを提供する。