[論文レビュー] Infinite Dimensional Control Problems with Positivity State Constraints: a Banach Lattice Approach

Alessandro Calvia, Salvatore Federico+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、正の状態制約を伴う無限次元最適制御問題に対して、バナッハラティス枠組みを導入し、無限次元のペロン＝フロベニウス定理を活用して補助問題のHJB方程式を明示的に解き、元の問題の最適軌道を導出する。これは、従来のL²設定を超えた画期的な手法を提供する。

ABSTRACT

This paper is devoted to studying a family of deterministic optimal control problems in an infinite dimension. The difficult feature of such problems is the presence of positivity state constraints, which arise very often in economic applications (our main motivation). To deal with such constraints we set up the problem in a Banach space with a Riesz space structure (i.e., a Banach lattice) and not necessarily reflexive, like $\mathcal{C}^0$. In this setting, which seems to be new in this context, we are able, using a type of infinite-dimensional Perron-Frobenius Theorem, to find explicit solutions of the HJB equation associated to a suitable auxiliary problem and to use such results to get information about the optimal paths of the starting problem. This was not possible to perform in the previously used infinite-dimensional setting where the state space was an $\mathrm{L}^2$ space.

研究の動機と目的

• 経済的応用で一般的な、無限次元最適制御問題における正の状態制約の取り扱いの課題に対処すること。
• 非反射的バナッハラティス（例：C⁰）を用いた、L²空間とは異なる新しい数学的枠組みの構築すること。
• 状態空間の構造とハミルトニアン＝ジャコビ・ベルルーチ方程式（HJB方程式）の可解性との間の関係を確立すること。
• スペクトル理論的ツールを用いて、補助問題のHJB方程式の明示的解を導出すること。
• 解の順序論的性質と比較原理を活用して、元の制約付き最適制御問題の最適制御経路を導出すること。

提案手法

• リーマン空間構造を持つバナッハラティス空間に制御問題を定式化し、順序論的解析を可能にする。
• HJB方程式に現れる線形作用素のスペクトル的性質を分析するために、無限次元版のペロン＝フロベニウス定理を適用する。
• ラティス構造のおかげで、明示的な解が得られる補助最適制御問題を構築する。
• 補助問題の解を用いて、元の問題の値関数と最適軌道を特徴付ける。
• バナッハラティスの順序構造を活用して、解法プロセス全体で正の制約を維持する。
• 双対性および比較原理を介して、補助問題の解と元の問題の最適経路との間の関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の状態制約を伴う無限次元最適制御問題において、L²空間とは異なりバナッハラティス枠組みを用いることで、効果的に制御可能であるか。
• RQ2 無限次元ペロン＝フロベニウス定理は、このような設定におけるHJB方程式の解法にどのように応用可能か。
• RQ3 状態空間のどのような構造的性質が、制約下でのHJB方程式の明示的解法を可能にするか。
• RQ4 バナッハラティス構造は、標準的なL²定式化と比較して、制御問題の可解性をどのように向上させるか。
• RQ5 補助問題の解は、元の制約付き最適制御問題の最適制御経路をどのように情報提供するか。

主な発見

• バナッハラティス構造の導入により、補助問題のHJB方程式の明示的解法が可能となり、従来のL²ベースの枠組みでは達成できなかった。
• 無限次元ペロン＝フロベニウス定理は、主固有関数および関連する解構造を特徴付けるための重要な解析的ツールを提供する。
• 補助問題の解を順序論的および比較的議論を用いて活用することで、元の問題の最適制御経路が導出される。
• 状態空間の反射性を要件としないため、C⁰型空間への応用範囲が拡張され、正の状態制約を効果的に処理できる。
• 滑らかさや反射性の欠如によって標準的変分的手法が失敗する状況においても、最適軌道を特定する構成的アプローチを提供する。
• 結果として、状態空間のラティス構造が、かつては到達不可能とされた明示的解法を解き放つ鍵であることが示された。