[論文レビュー] Infinite-dimensional generative diffusions via Doob's h-transform

Thorben Pieper-Sethmacher, Daniel Paulin|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2026

Markov Chains and Monte Carlo Methods被引用数 0

ひとこと要約

要約: 論文は、Doob の h-変換を用いて参照拡散がターゲット測度にヒットするように無限次元の生成拡散モデルの枠組みを開発し、時間反転ノイズ付与に依存せずサンプリングを実現し得る理論的保証とスコアベース学習を提供する。VP-SPDE の具体化と Gaussian mixtures、MNIST-SDF、地震学ベイジアン逆問題への適用を含む。

ABSTRACT

This paper introduces a rigorous framework for defining generative diffusion models in infinite dimensions via Doob's h-transform. Rather than relying on time reversal of a noising process, a reference diffusion is forced towards the target distribution by an exponential change of measure. Compared to existing methodology, this approach readily generalises to the infinite-dimensional setting, hence offering greater flexibility in the diffusion model. The construction is derived rigorously under verifiable conditions, and bounds with respect to the target measure are established. We show that the forced process under the changed measure can be approximated by minimising a score-matching objective and validate our method on both synthetic and real data.

研究の動機と目的

• Doob の h-変換に基づく参照拡散をターゲット測度へ強制する厳密な無限次元生成拡散フレームワークを開発する。時間反転ノイズ付与プロセスや長時間収束問題への依存を避ける。
• h-変換過程の存在条件を明示し、ターゲット測度に対するサンプリング境界を導出する。
• スコアマッチングを通じて steering 関数を学習する方法を示し、無限次元設定全体でのロバスト性を実証する。
• VP-SPDE のインスタンス化を導入し、その理論特性と実践的性能を分析する。

提案手法

• 無限次元のハイリット空間上で線形/非線形ドリフトと円筒 Wiener ノイズを伴う拡散 X を定式化する（式(1)）。
• Doob の h-変換を適用して X が時刻 T にターゲット測度 μ をヒットするよう条件付けし、付加的な steering 項を持つ強制過程 X^h を得る（式(4)）。
• h(t,x) を経路密度から定義し、遷移密度に対して Assumption 3.1 を要求する（式(3)）。
• steering 関数 s(t,x)=∇_x log h(t,x) をパラメトリック s_θ で近似し、score-matching 型の損失を最小化して X^h を X^θ に整合させる（式(6)、命題 4.1）。
• μ0^h からのサンプリングと強制 SDE の前進シミュレーションを用いて μ からサンプルを生成する。
• VP-SPDE に特化して、X を A, Q, β(t) を用いる不均一オーンシュタイン・ウーレンベック過程として定義する（式(7)）。
• h の存在を証明し、VP-SPDE の下で X^h を構成する（式(8)）。
• データサンプリングと生成サンプルの間の Wasserstein 距離誤差を導出し、数値誤差、初期化誤差、損失推定誤差を分解する（命題 6.1）。
• μ ⊂ H_ν の場合を、初期の短いノイズ付與で μ_ε ≪ ν を保証するよう正則化する（式(10)）ことを扱う（補題 6.4）。

(a)

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Doob の h-変換を用いて無限次元で直接有限サンプル unbiased な生成拡散モデルを定義できるか？
• RQ2 h-変換された過程が存在し、実現可能なサンプリング保証を提供する条件はどれか？
• RQ3 ステアリング関数をデータからスコアマッチングで学習することはサンプリング精度にどう影響するか？
• RQ4 VP-SPDE のインスタンスが高次元の関数空間タスクやベイズ逆問題でどの程度性能を発揮するか？
• RQ5 離散化と推定誤差を考慮した生成サンプルとターゲット測度との定量的誤差境界はどの程度か？

主な発見

モデル	T=1	T=0.2
ND	0.274	0.692
HND	0.117	0.510
FCN (ours)	0.258	0.123
FNS (ours)	0.055	0.053

• h 変換フレームワークは、時刻 T で X^h が μ にヒットする唯一の測度を与え、X^h は修正された SDE を解く（式(4)）ことを示す。
• steering 関数 s(t,x) はスコアマッチング目的で学習でき、経路測度を整合させる実用的な学習目的を生む（命題 4.1）。
• VP-SPDE は γ という荒さのチューニング可能な無限次元拡散を提供し、実用的なインスタンス化を可能にする（式(7) および系説 5.2, 5.5）。
• データ測度と生成サンプルの間の Wasserstein-2 誤差境界を導出し、初期化、損失、数値離散化誤差を分離する（命題 6.1）。
• 合成的な Gaussian mixture、MNIST-SDF、地震学逆問題で検証され、次元と時間道程に対するロバスト性を示し、MNIST-SDF における FID スコアが競合的である（表2、引用された表と図を参照）とともに、拡散挙動が良好である。
• 実験は、強制拡散モデル（FCN, FNS）が従来の ND/HND ベースラインと比較してノイズ化時間の短縮や高次元への耐性を維持することを示す（表1）。

(b)