[論文レビュー] Infinite-dimensional groups over finite fields and Hall-Littlewood symmetric functions

Cesar Cuenca, Grigori Olshanski|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2021

Advanced Algebra and Geometry参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、有限体上の無限次元リー代数におけるエルゴディックな共伴作用不変Radon測度と、変形されたヤング図の調和関数の間の対応を、Hall-Littlewood対称関数を用いて確立する。トレーサブル因数表現の理論を共伴作用へ拡張し、有限体上のユニタリ群に対して、測度がパラメータ $ t = -q^{-1} $ の非標準的Hall-Littlewood変形に関連していることを示し、プラナチェル測度の類似および新たな分岐グラフを導出する。

ABSTRACT

The groups mentioned in the title are certain matrix groups of infinite size over a finite field $\mathbb F_q$. They are built from finite classical groups and at the same time they are similar to reductive $p$-adic Lie groups. In the present paper, we initiate the study of invariant measures for the coadjoint action of these infinite-dimensional groups. We examine first the group $\mathbb{GLB}$, a topological completion of the inductive limit group $\varinjlim GL(n, \mathbb F_q)$. As was shown by Gorin, Kerov, and Vershik [arXiv:1209.4945], the traceable factor representations of $\mathbb{GLB}$ admit a complete classification, achieved in terms of harmonic functions on the Young graph $\mathbb Y$. We show that there exists a parallel theory for ergodic coadjoint-invariant measures, which is linked with a deformed version of harmonic functions on $\mathbb Y$. Here the deformation means that the edges of $\mathbb Y$ are endowed with certain formal multiplicities coming from the simplest version of Pieri rule (multiplication by the first power sum $p_1$) for the Hall-Littlewood (HL) symmetric functions with parameter $t:=q^{-1}$. This fact serves as a prelude to our main results, which concern topological completions of two inductive limit groups built from finite unitary groups. We show that in this case, coadjoint-invariant measures are linked to some new branching graphs. The latter are still related to the HL functions, but the novelty is that now the formal edge multiplicities come from the multiplication by $p_2$ (not $p_1$) and the HL parameter $t$ turns out to be negative (as in Ennola's duality).

研究の動機と目的

• 有限体上の無限次元群の共伴作用に対するエルゴディック不変Radon測度の分類。
• 調和関数を用いた変形グラフ上で、トレーサブル因数表現の理論を共伴設定へ拡張すること。
• ユニタリ不変測度とパラメータ $ t = -q^{-1} $ のHall-Littlewood対称関数との間の関係を確立すること。
• 偶数次元および奇数次元ユニタリ群から生じる共伴作用不変測度のための新たな分岐グラフの構成。

提案手法

• 有限体 $ \mathbb{F}_q $ 上の有限古典群、例えば $ \mathrm{GLB} $、$ \mathrm{U}(2\infty, q^2) $、$ \mathrm{U}(2\infty+1, q^2) $ の帰納的極限構成を用いた位相的完備化の定義。
• 局所コンパクトアーベル群上のRadon変換とフーリエ解析を用いて、一般化された球対称表現の定義。
• Hall-Littlewood多項式によって決定される辺の重複度を持つ $ \mathrm{HL} $-変形ヤング図 $ Y^{\mathrm{HL}}(t) $ の導入。
• コーン同型定理を用いて、分岐グラフの境界を $ Y^{\mathrm{HL}}(t) $ 上の非負調和関数の空間と特定。
• 不変測度と一般化された球対称表現の間のマッケイ型対応を用いて、測度とユニタリ表現を結びつける。
• ユニタリの場合の $ t = -q^{-1} $ におけるプラナチェル型公式を明示的に構成することで、測度の構成。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体上の無限次元群に対して、エルゴディックな共伴作用不変Radon測度はどのように分類可能か？
• RQ2 Hall-Littlewood対称関数は、共伴軌道空間上の不変測度の構造において果たす役割は何か？
• RQ3 ユニタリ群の分岐グラフは、一般線形群のそれと比べて、測度分類の文脈でどのように異なるか？
• RQ4 ユニタリ群のヤング図の変形において、パラメータ $ t = -q^{-1} $ の意味は何か？
• RQ5 これらの無限次元群に対して、プラナチェル測度の類似を構成可能か？

主な発見

• $ \mathrm{GLB} $ に対して、エルゴディックな共伴作用不変Radon測度は、$ t = q^{-1} $ のHall-Littlewood変形ヤング図 $ Y^{\mathrm{HL}}(t) $ 上の非負調和関数と一対一に対応する。
• 偶数次元ユニタリ群 $ \mathrm{U}(2\infty, q^2) $ に対して、測度は $ t = -q^{-1} $ における $ Y^{\mathrm{HL}}(t) $ に関連する新しい分岐グラフと結びついており、これは標準的Hall-Littlewood変形ではない。
• 奇数次元ユニタリ群 $ \mathrm{U}(2\infty+1, q^2) $ に対しても、同様に非標準的変形 $ t = -q^{-1} $ が生じ、特徴的な分岐構造をもたらす。
• ユニタリの場合の分岐グラフの境界は、$ Y^{\mathrm{HL}}(-q^{-1}) $ 上の調和関数によって記述され、古典的ヤング図のトーマ単体を一般化する。
• 理論により、ユニタリ不変測度の新たな族が得られ、特に $ t = -q^{-1} $ の変形を用いたプラナチェル型測度の構成が可能になる。
• フーリエ変換とゲルファンド三重構成を用いた測度と一般化された球対称表現の間の対応が確立され、マッケイ理論が非コンパクト設定へ拡張される。