[論文レビュー] Infinite Dimensional Multipliers and Pontryagin Principles for Discrete-Time Problems

Mohammed Bachir, Joël Blot|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2016

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、状態空間と制御空間がバナッハ空間である無限時間ホライズンの離散時間最適制御問題に対して、無限次元のポントレージン原理を確立する。無限時間問題を有限時間近似に還元し、特に弱-star収束と乗数列を用いた関数解析的道具を適用することで、標準的な有限次元手法が双対空間における閉包や位相的問題により失敗する無限次元設定でも、必要最適性条件を満たす共役乗数の存在を証明する。

ABSTRACT

The aim of this paper is to provide improvments to Pontryagin principles in infinite-horizon discrete-time framework when the space of states and of space of controls are infinite-dimensional. We use the method of reduction to finite horizon and several functional-analytic lemmas to realize our aim.

研究の動機と目的

• 状態空間と制御空間が無限次元である無限時間ホライズンの離散時間最適制御問題に、ポントレージンの最大原理を拡張すること。
• 特に、作用素の値域の閉包や双対空間における弱-star位相といった、無限次元設定で生じる課題に対処すること。
• 無限時間ホライズン問題を有限時間近似に変換する還元法により、必要最適性条件を確立すること。
• 無限次元設定において、弱-star収束と非自明性条件を満たす共役乗数の存在を証明すること。
• 特にバナッハ・カテゴリー理論と劣加法的汎関数を用いて、無限次元最適制御における乗数法の厳密な関数解析的基盤を提供すること。

提案手法

• 時間ホライズンをTで切断することで、無限時間ホライズン最適制御問題を有限時間近似に還元する。
• 各有限時間問題にカルシュ＝クーン＝タッカー（KKT）乗数定理を適用し、Tに依存する乗数を生成する。
• 双対バナッハ空間における弱-star収束を用いて、T → ∞ のときの乗数列の収束部分列を抽出する。
• 特にバナッハ・カテゴリー理論と劣加法的汎関数からの関数解析的補題を用いて、極限乗数の存在と非自明性を保証する。
• 補題3.3を介してバナッハ＝シュタインハウス型結果を適用し、作用素族の一様有界性を制御し、乗数列の収束を保証する。
• 有限時間乗数の極限をとることで必要最適性条件を確立し、極限乗数が共役方程式と非自明性条件を満たすことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態空間と制御空間が無限次元である場合に、無限時間ホライズンの離散時間最適制御問題に対して、ポントレージン型の必要最適性条件を導出できるか？
• RQ2 標準的な有限時間ホライズン乗数法をバナッハ空間における無限時間問題にどのように適応できるか？
• RQ3 無限次元設定において、共役乗数の存在と収束を保証するために必要な関数解析的道具は何か？
• RQ4 T → ∞ の極限において、乗数対 (λ₀, pₜ) の非自明性がどのように保たれるか？
• RQ5 有限時間乗数の極限が、無限次元において共役方程式と類似する境界条件を満たすための条件は何か？

主な発見

• 本稿は、無限次元バナッハ空間における無限時間ホライズン離散時間最適制御問題に対してポントレージン原理を確立し、共役方程式を満たす非自明な乗数列 (λ₀, pₜ) の存在を証明する。
• 各Tに対して、有限時間KKT乗数 (λ₀, pₜ^T) が存在し、これらがT → ∞ のとき弱-star収束して極限乗数 (λ₀, pₜ) に収束することが示される。
• 極限乗数は共役方程式 pₜ = D_x fₜ*(x̂ₜ,ûₜ) pₜ₊₁ をすべての t ∈ ℕ に対して満たし、適切な境界条件を満たす。
• 非自明性条件 (λ₀, pₜ) ≠ (0, 0) がすべての t ≥ s に対して保持され、乗数が恒等的にゼロでないことが保証される。
• トポロジカルな障害を克服するため、バナッハ・カテゴリー定理と双対空間における弱-star収束に依存する。
• 結果は不等号制約付き系 (xₜ₊₁ ≤ fₜ(xₜ, uₜ)) や limsup/liminf の目的関数を含む問題へも拡張され、本手法の頑健性が示される。