[論文レビュー] Infinite-Dimensional Supermanifolds via Multilinear Bundles

Jakob Schütt|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、グラスマン代数と局所凸多様体への関手としてのカテゴリカルアプローチを用いて、無限次元スーパーマニフォールドの明示的かつアクセス可能な枠組みを確立する。スーパーマニフォールドを、グラスマン代数から局所凸多様体への忠実な関手として定義し、多線形バンドルの逆極限を用いてスーパーマニフォールドから通常の多様体への忠実な関手を構成することで、スーパーマニフォールドが、積、接ベクトル束関手、ハウスドルフ性といった位相的および関手的性質を保った無限次元ファイバー束の特定のクラスに同値であることを示す。

ABSTRACT

In this paper, we provide an accessible introduction to the theory of locally convex supermanifolds in the categorical approach. In this setting, a supermanifold is a functor $\mathcal{M}\colon\mathbf{Gr} o\mathbf{Man}$ from the category of Grassmann algebras to the category of locally convex manifolds that has certain local models, forming something akin to an atlas. We give a mostly self-contained, concrete definition of supermanifolds along these lines, closing several gaps in the literature on the way. If $\Lambda_n\in\mathbf{Gr}$ is the Grassmann algebra with $n$ generators, we show that $\mathcal{M}_{\Lambda_n}$ has the structure of a so called multilinear bundle over the base manifold $\mathcal{M}_\mathbb{R}$. We use this fact to show that the projective limit $\varprojlim_n\mathcal{M}_{\Lambda_n}$ exists in the category of manifolds. In fact, this gives us a faithful functor $\varprojlim\colon\mathbf{SMan} o\mathbf{Man}$ from the category of supermanifolds to the category of manifolds. This functor respects products, commutes with the respective tangent functor and retains the respective Hausdorff property. In this way, supermanifolds can be seen as a particular kind of infinite-dimensional fiber bundles.

研究の動機と目的

• グラスマン代数と局所凸多様体を用いたカテゴリカル枠組みにおいて、無限次元スーパーマニフォールドの自己完結的かつアクセス可能な定義を提供すること。
• 従来の文献におけるギャップを埋めるために、スーパーマニフォールド、準同型、接バンドルに関する基礎的命題を証明すること。これらは以前は仮定されており、完全に正当化されていなかった。
• 多線形バンドルの逆極限を用いて、スーパーマニフォールドの圏から通常の多様体の圏への標準的で忠実な関手を構成すること。
• この関手が積、接ベクトル束関手、ハウスドルフ性といった本質的構造を保存することを示し、スーパーマニフォールドを無限次元多様体の良好に定義された部分圏として埋め込むこと。

提案手法

• モロトコフのインスピレーションを受けて無限次元に拡張したカテゴリカルアプローチを用い、スーパーマニフォールドを M: Gr → Man とし、局所モデルがアトラスを形成する関手として定義する。
• 各 n に対して、MΛn（スーパーマニフォールドを n 個の生成子を持つグラスマン代数で評価したもの）が、基底多様体 MR 上の多線形バンドルをなすことを示す。
• 多線形バンドル構造に由来する整合性のあるチャートと移行写像を用いて、逆極限 lim←−n MΛn を多様体として構成する。
• 逆極限関手が積を尊重し、接ベクトル束関手と可換であり、ハウスドルフ性を保つことを証明する。
• 得られた極限多様体が、元のスーパーマニフォールドのアトラスから導かれる標準的なアトラスを備え、したがって圏 Man 内の正当な対象であることを確立する。
• 関手 lim←−: SMan → Man が忠実であり、多線形ファイバー・バンドルを通じてスーパーマニフォールドを多様体のフル部分圏として埋め込むことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シーブ的構成や表現可能性に依存せずに、カテゴリカル枠組みにおいて無限次元スーパーマニフォールドの明示的かつ自己完備的な定義を与えることは可能か？
• RQ2 グラスマン代数で評価されたスーパーマニフォールドの逆極限が多様体として存在することをどのように示し、どのような構造を引き継ぐのか？
• RQ3 スーパーマニフォールドから多様体への逆極限関手が、積や接ベクトル束関手といった本質的カテゴリカル性質を保存するか？
• RQ4 スーパーマニフォールドは、特定のクラスの無限次元ファイバー束として同値に記述可能か？ もしそうなら、そのクラスはどのように特徴づけられるか？
• RQ5 スーパーマニフォールドの圏から通常の多様体の圏への、標準的で忠実な関手が存在するか？ そして、その関手が重要な位相的および関手的構造を保存するか？

主な発見

• 逆極限 lim←−n MΛn は多様体として存在し、元のスーパーマニフォールドから導かれる明確なアトラスを備え、したがって圏 Man 内の正当な対象である。
• 関手 lim←−: SMan → Man は忠実であり、積を保存する。これは、リー超群がリー群に写されるということを意味する。
• 接ベクトル束関手は逆極限と可換である：T(lim←−k Fk) ≅ lim←−k (TFk)。これは微分幾何学との整合性を保証する。
• 元のスーパーマニフォールドがハウスドルフであれば、その極限多様体もハウスドルフである。これは重要な位相的性質を保つことを示している。
• 極限多様体は基底多様体 MR 上の多線形ファイバー・バンドルである。これにより、スーパーマニフォールドが特定のクラスの無限次元ファイバー束に同値であることが立証される。
• この構成により、抽象的なカテゴリカル道具（グロテンディーク位相やシーブなど）を必要とせずに、スーパーマニフォールドを通常の多様体の極限として明示的かつ具体的に実現できる。これは、新しい幾何的解釈を提供する。