[論文レビュー] Infinite-dimensional symmetries of a two-dimensional generalized Burgers equation

F. Güngör|ArXiv.org|Feb 24, 2009

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、9つの任意係数関数を有する2次元一般化バーガース方程式が無限次元の対称性代数を有するための条件を特定する。同定等価変換を用いて、標準形を導出し、Kac-Moody型の対称性は可能であるが、Virasoro代数は実現されないことを示しており、これは変数係数一般化が非常に大きな対称性群を有してもなお非可積分性を保つことを示している。

ABSTRACT

The conditions for a generalized Burgers equation which a priori involves nine arbitrary functions of one, or two variables to allow an infinite dimensional symmetry algebra are determined. Though this algebra can involve up to two arbitrary functions of time, it does not allow a Virasoro algebra. This result confirms that variable coefficient generalizations of a non-integrable equation should be expected to remain as such.

研究の動機と目的

• 9つの任意係数関数を有する2次元一般化バーガース方程式が無限次元対称性代数を有するための条件を特定すること。
• このような方程式が、2+1次元における可積分性の特徴であるVirasoro代数を含むことができるかどうかを調査すること。
• 特にKac-Moodyおよびアーベル構造に注目して、無限次元対称性実現のすべてのケースを分類すること。
• 無限次元対称性代数から明示的解を構成するための対称性還元技術を適用すること。
• 可積分方程式（例：KP）と非可積分一般化（例：バーガース）との対称性構造の違いを明確にすること。

提案手法

• 著者らは、係数関数の構造を保ちながら一般方程式を標準形に還元するための同値（許容される）変換を用いる。
• 点変換における不変性を分析することで、標準化された一般化バーガース方程式のための対称性の決定方程式を導出する。
• 対称性代数は、時間または空間の任意関数を含む場合に注目して、決定方程式を解くことで解析される。
• 時間再パrametrization不変性およびKac-Moody代数実現の可能性を、ベクトル場の明示的構成を通じて検討する。
• 群不変なアンザッツを用いて、PDEをODEやより単純なPDEに還元することで、対称性還元を適用する。
• 特に移動座標系および非アーベルKac-Moody対称性に基づくアンザッツを用いて、特定の解族を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元一般化バーガース方程式が無限次元対称性代数を有するのはどのような条件下か？
• RQ2 一般化バーガース方程式の対称性代数に、可積分性を示す指標であるVirasoro部分代数が含まれる可能性はあるか？
• RQ3 このような方程式に対して、最大でどの程度の対称性代数構造（例：Kac-Moody、アーベル）が可能か？
• RQ4 係数関数は、非アーベルまたはアーベルな無限次元対称性の存在をどのように制約するか？
• RQ5 対称性還元は、一般化バーガース方程式に対して明示的解を導けるか？

主な発見

• 関数 f(y,t) が恒等的にゼロであり、a, b, c が任意のとき、標準化された一般化バーガース方程式は無限次元アーベル対称性代数を有する。
• 特定の係数条件を満たすとき、非アーベルKac-Moody対称性代数が存在する。具体的には、b(y,t) = b₁(t)y + b₀(t) および c(y,t) = c₂(t)y² + c₁(t)y + c₀(t) であり、a = f = 0 である。
• Virasoro代数は、最も対称的な場合ですら、対称性代数の部分代数として実現されない。これは、非常に大きな対称性群を有しても方程式が非可積分のままであることを確認している。
• 最も一般な対称性は、x方向に任意のフレームが移動する変換であり、f(y,t) ≡ 0 である必要があり、xに関して線形で、特定のy依存性を示す解に帰着する。
• 対称性還元により、(F_t + FF_z + F_zz)_z + ε(ξ²/η²)F_zz + ... = 0 の形の還元されたPDEが得られ、c(t) = 0 のとき1次元バーガース方程式に還元される。
• 1次元バーガース方程式の解は、アンザッツ (6.5) を用いて2次元に持ち上げられ、一般化方程式のy依存解を体系的に生成する方法が得られる。