[論文レビュー] Infinite-dimensional transfer operators, endomorphisms, and measurable partitions

Sergey Bezuglyi, Palle E. T. Jørgensen|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 70被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、標準的ボレル測度空間上の自己準同型写像と正の転送作用素の間に双対性を確立し、Perron-Frobeniusの定理を無限次元設定に拡張する。普遍的なヒルベルト空間フレームワークを導入し、調和関数、不変測度、および条件付き期待値を転送作用素を用いて特徴づける。主要な結果として、エルゴディック分解と非特異的自己準同型写像のラドン＝ニコディム導関数に関するものがある。

ABSTRACT

We develop a new duality between endomorphisms of measure spaces, on the one hand, and a certain family of positive operators, called transfer operators, acting in spaces of measurable functions on, on the other. A framework of standard Borel spaces is adopted; and this generality is wide enough to cover a host of applications. While the mathematical structures of positive operators, endomorphisms, transfer operators, measurable partitions, and Markov processes arise in a host of settings, both pure and applied, we propose here a unified study. This is the general setting of dynamics in Borel measure spaces. Hence the corresponding linear structures are infinite-dimensional. Nonetheless, we prove a number of analogues of the more familiar finite-dimensional settings, for example, the Perron-Frobenius theorem for positive matrices, and the corresponding Markov chains. Tools from the theory of operators in Hilbert space of special significance to us will be the use of a certain universal Hilbert space, as well as classes of operators in it, directly related to the central theme of duality for transfer operators. From ergodic theory, we address such questions as measurable cross sections, partitions, and Rohlin analysis of endomorphisms of measure spaces. While there are classical theorems dealing with analogous questions for automorphisms of measure spaces, a systematic study of endomorphisms is of more recent vintage;-- in its infancy. In order to make the exposition accessible to students and to researchers in neighboring areas, we have included a number of explicit examples and applications.

研究の動機と目的

• 無限次元測度空間における転送作用素と自己準同型写像を統一的な枠組みで扱うことを目的とする。
• 正方行列に対するPerron-Frobeniusの定理を、特にマルコフ連鎖や確率過程に適用可能な無限次元設定に一般化することを目的とする。
• 可測分割を用いて転送作用素と不変測度を特徴づける調和関数を特定することを目的とする。
• ラドン＝ニコディム導関数と条件付き測度を介して、自己準同型写像 σ と転送作用素 R の間の双対性を確立することを目的とする。
• この理論を力学系に応用し、区分的単調写像、ガウス写像、反復関数系を含むものとする。

提案手法

• 標準的ボレル空間および測度空間を用いて、可測関数上に作用する自己準同型写像 σ と転送作用素 R を定義する。
• R(f)(x) = ∫_{C_x} f(y) dμ_{C_x}(y) として、条件付き測度 μ_C を用いて転送作用素 R を定義する。
• 転送作用素の表現とそのスペクトル的性質の研究のため、普遍的ヒルベルト空間 H(X) を用いる。
• エルゴディック分解とWoldの定理を用いて、自己準同型写像の等長的および自己同型的因子を分析する。
• Jσ(x) = ∑_{y∈σ⁻¹(x)} 1/J(y) を用いて、Rσ(h)(x) = ∑_{y∈σ⁻¹(x)} h(y)/Jσ(y) を定義し、非特異性と転送作用素の構造の関係を明示する。
• Rohlinの可測分割および断面の理論を応用して、不変測度の構成と自己準同型写像の力学的性質の分析を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 転送作用素を用いて、有限次元から無限次元設定へのPerron-Frobeniusの定理の拡張はどのように可能か？
• RQ2 標準的ボレル測度空間において、自己準同型写像 σ と転送作用素 R の間の明確な双対性は何か？
• RQ3 転送作用素に対する調和関数は、可測分割および σ-不変集合とどのように関係するか？
• RQ4 非特異的自己準同型写像の下での不変測度を特徴づける際、ラドン＝ニコディム導関数 ωσ が果たす役割は何か？
• RQ5 L¹ および L² 空間における転送作用素は、自己準同型写像のエルゴディック的性質およびスペクトル的性質をどのように反映するか？

主な発見

• 可測関数 h が R に関して調和的であることは、σ-不変な可測分割 ξ の原子上で定数であることにちょうど同値である。
• μR と μ 間のラドン＝ニコディム導関数は、W = ν_C(C) で与えられ、ν_C は分割要素 C 上の条件付き測度である。
• 有界1対1の非特異的自己準同型写像 σ に対して、転送作用素 Rσ は Rσ(h)(x) = ∑_{y∈σ⁻¹(x)} h(y)/Jσ(y) で定義され、Jσ はヤコビアンである。
• f が基底空間で可測で、g が積空間で可測であるとき、R(fg) = fR(g) が成り立つ。これは、ダイナミクスと乗法的整合性を示している。
• 普遍的ヒルベルト空間 H(X) は転送作用素の表現を支え、等長的分解を介して自己準同型写像のスペクトル解析を可能にする。
• 転送作用素のエルゴディック分解は、対応する自己準同型写像をその自己同型的および完全に非特異的部品に分解することに対応する。