[論文レビュー] Infinite Divisibility and Max-Infinite Divisibility with Random Sample Size

S. Satheesh, E Sandhya|ArXiv.org|May 2, 2003

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、無限に可除（ID）および最大無限に可除（MID）分布を、ランダムな標本サイズを導入することで一般化し、これらの一般化された法則がランダム和およびランダム最大値の極限として生じることを示している。これらの法則への収束の必要十分条件を確立し、Satheesh（2001, 2002）およびRachev & Resnick（1991）の幾何的MIDおよびランダムID法則に関する先行研究を拡張し、吸引および部分的吸引に関する新たな知見を提示している。

ABSTRACT

Continuing the study reported in Satheesh (2001),(math.PR/0304499 dated 01 May 2003) and Satheesh (2002)(math.PR/0305030 dated 02May 2003), here we study generalizations of infinitely divisible (ID) and max-infinitely divisible (MID) laws. We show that these generalizations appear as limits of random sums and random maximums respectively. For the random sample size N, we identify a class of probability generating functions. Necessary and sufficient conditions that implies the convergence to an ID (MID) law by the convergence to these generalizations and vise versa are given. The results generalize those on ID and random ID laws studied previously in Satheesh (2001b, 2002) and those on geometric MID laws studies in Rachev and Resnick (1991). We discuss attraction and partial attraction in this generalization of ID and MID laws.

研究の動機と目的

• ランダムな標本サイズを組み込むことで、無限に可除（ID）および最大無限に可除（MID）分布の理論を拡張すること。
• 一般化されたIDおよびMID法則への収束を引き起こす、標本サイズNの確率生成関数のクラスを特定すること。
• 一般化されたID/MID法則への収束の必要十分条件を確立し、逆にそれらの条件を満たす場合の逆問題を解明すること。
• Satheesh（2001, 2002）およびRachev & Resnick（1991）による幾何的MID法則およびランダムID法則に関する先行結果を一般化すること。
• これらの一般化されたIDおよびMID法則の文脈において、吸引および部分的吸引の概念を調査すること。

提案手法

• 著者たちは、標本サイズNが指定された確率生成関数に従う場合のランダム和およびランダム最大値の極限的挙動を分析している。
• 正規化された和または最大値の分布が一般化されたIDまたはMID法則に収束するための必要十分条件を導出している。
• 特徴関数および吸引域の技術を用いたアプローチにより、古典的収束理論をランダム標本サイズの設定に拡張している。
• 生成関数およびラプラス変換の理論を用いて、極限分布を特徴づけている。
• 幾何的MIDおよびランダムID法則に関する既存の結果を統合・拡張する一般化された枠組みを導入している。
• 部分的吸引の詳細な議論を含んでおり、極値理論における古典的吸引概念の改良を提供している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム標本サイズNにどのような条件を課すと、正規化された和が一般化された無限に可除法則に収束するか？
• RQ2 標本サイズがランダムである場合、ランダム最大値の極限分布はどのように最大無限に可除法則に関連するか？
• RQ3 Nの確率生成関数のどのクラスが、一般化されたIDまたはMID法則への収束を引き起こすか？
• RQ4 提案された一般化は、幾何的MID法則およびランダムID法則に関する先行結果をどの程度拡張するか？
• RQ5 一般化されたIDおよびMIDフレームワークにおいて、吸引および部分的吸引の概念はどのように現れるか？

主な発見

• 本稿では、ランダム標本サイズNの確率生成関数の特定のクラスを同定し、一般化されたIDおよびMID法則への収束を保証している。
• 正規化されたランダム和が一般化されたID法則に収束するための必要十分条件、および正規化されたランダム最大値が一般化されたMID法則に収束するための必要十分条件が導出された。
• Rachev & Resnick（1991）の幾何的MID法則に関する先行研究およびSatheesh（2001, 2002）のランダムID法則に関する研究が一般化された。
• 本フレームワークにより、ランダム標本サイズの極限における吸引および部分的吸引の統一的取り扱いが可能となった。
• 一般化されたIDおよびMID法則が、適切な正規化のもとで、それぞれランダム和およびランダム最大値の自然な極限として生じることを確認した。
• 最終版において、131ページの最後の段落に欠落していた節が修正され、理論的説明の完全性が確保された。