[論文レビュー] Infinite energy solutions for a 1D transport equation with nonlocal velocity

Omar Lazar, Pierre Gilles Lemarié–Rieusset|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、初期データのエネルギーが無限大である場合に、非局所速度および臨界定常散乱を伴う1次元散乱輸送方程式の解のグローバル存在を確立する。重み付きLebesgueおよびSobolev空間 $ w_\beta(x) = (1 + |x|^2)^{-\beta/2} $ を用いて、$ \theta_0 $ の $ L^\infty $ ノルムに小さな仮定を置いた場合、$ H^{1/2}(w_\beta) $ および $ H^1(w_\beta) $ 内の初期データに対してグローバル存在を証明する。これは、新規の交換子推定および重み付きエネルギー推定に依拠している。

ABSTRACT

We study a one dimensional dissipative transport equation with nonlocal velocity and critical dissipation. We consider the Cauchy problem for initial values with infinite energy. The control we shall use involves some weighted Lebesgue or Sobolev spaces. More precisely, we consider the familly of weights given by $w_{\\beta}(x)=(1+\\vert x \\vert^{2})^{-\\beta/2}$ where $\\beta$ is a real parameter in $(0,1)$ and we treat the Cauchy problem for the cases $\ heta_{0} \\in H^{1/2} (w_{\\beta})$ and $\ heta_{0} \\in H^{1} (w_{\\beta})$ for which we prove global existence results (under smallness assumptions on the $L^\\infty$ norm of $\ heta_0$). The key step in the proof of our theorems is based on the use of two new commutator estimates involving fractional differential operators and the family of Muckenhoupt weights.

研究の動機と目的

• 初期データのエネルギーが無限大である場合に、非局所速度および臨界定常散乱を伴う1次元輸送方程式の解のグローバル存在を扱う。
• Muckenhoupt重み $ w_\beta $ を用いた重み付きSobolev空間を導入することで、有限エネルギー設定を超えた理論を拡張する。
• 初期データが $ H^{1/2}(w_\beta) $ および $ H^1(w_\beta) $ に属する場合、$ \theta_0 $ の $ L^\infty $ ノルムに対する小さな条件の下でグローバル存在を確立する。
• 非線形項を制御するために、分数階微分作用素とMuckenhoupt重みを含む交換子推定を新たに開発する。

提案手法

• 重み $ w_\beta(x) = (1 + |x|^2)^{-\beta/2} $ を用いて定義される重み付きLebesgueおよびSobolev空間を用いる。$ \beta \in (0,1) $ である。
• 分数階微分作用素と重み $ w_\beta $ を含む2つの新しい交換子推定を導出する。これらは非局所速度項を制御するために不可欠である。
• 時間にわたる解ノルムを制御するために、重み付き $ L^2 $、$ H^{1/2} $、$ H^1 $ 空間における事前推定を確立する。
• 初期データを切り詰め・滑らか化する正則化および切断手続きにより解を構成する。重み付きノルムにおける一様有界性を導出する。
• 弱コンパクト性およびRellichの定理を適用して、正則化列から極限解を抽出する。
• 証明は、$ L^\infty $ 最大値原理およびHilbert変換と分数階ラプラシアン $ \Lambda^\alpha $ を含むエネルギー推定に依拠している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期データのエネルギーが無限大である場合に、非局所速度を伴う1次元輸送方程式に対してグローバル解を確立できるか？
• RQ2 臨界定常散乱領域において、無限エネルギーを伴う解を制御するのに適した重み付き関数空間は何か？
• RQ3 非局所速度項を処理するために、Muckenhoupt重みに適応された交換子推定はどのように構築できるか？
• RQ4 $ \|\theta_0\|_{L^\infty} $ にどのような小さな条件を置けば、重み付き $ H^{1/2} $ および $ H^1 $ 空間でグローバル存在が保証されるか？
• RQ5 標準的な $ L^2 $-ベースのエネルギー推定が失敗する場合、正則化およびコンパクトネス法を用いて解を構成できるか？

主な発見

• 初期データ $ \theta_0 \in H^{1/2}(w_\beta) $ に対して、$ \|\theta_0\|_{L^\infty} < 1 $ の小さな条件の下で、重み付き $ H^{1/2} $ ノルムにおける一様制御を伴うグローバル存在が証明された。
• 初期データ $ \theta_0 \in H^1(w_\beta) $ に対しては、$ \|\theta_0\|_{L^\infty} < 1/C_1 $ の下でグローバル存在が成立する。ここで $ C_1 $ はGagliardo–Nirenbergの不等式から得られる普遍定数である。
• 解は $ L^\infty $ 最大値原理を満たす：すべての $ t > 0 $ に対して $ \|\theta(t,\cdot)\|_{L^\infty} \leq \|\theta_0\|_{L^\infty} $ が成り立つ。
• 重み付き $ H^{1/2} $ ノルムは推定 $ \sup_{t>0} \|\Lambda^{1/2}\theta(t,\cdot)\|_{L^2(w_\beta dx)} \leq \|\Lambda^{1/2}\theta_0\|_{L^2(w_\beta dx)} $ によって制御される。
• 重み付き $ H^1 $ ノルムは $ \sup_{t>0} \|\Lambda\theta(t,\cdot)\|_{L^2(w_\beta dx)} \leq \|\Lambda\theta_0\|_{L^2(w_\beta dx)} $ を用いて制御される。
• 解はエネルギー散逸不等式を満たす：$ \int_0^\infty \|\Lambda\theta(s,\cdot)\|_{L^2(w_\beta dx)}^2 ds \leq \frac{1}{2(1 - \|\theta_0\|_{L^\infty})} \|\Lambda^{1/2}\theta_0\|_{L^2(w_\beta dx)}^2 $。