[論文レビュー] Infinite energy solutions of the two-dimensional Navier-Stokes equations

Thierry Gallay|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2014

Navier-Stokes equation solutions参考文献 22被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、初期速度場が有界である2次元ナビエ＝ストークス方程式の解が、運動エネルギーが無限大であっても、$L^∞$ノルムにおいて時間に関して線形的にしか増大しないことを確立する。局所化されたエネルギー推定の精錬と、有界な渦度に対して特化したバイオ＝サバール法の新規定式化により、粘性散逸に依存せずにこの上限を得ており、2次元オイラー方程式のセルファティ解へと結果を拡張している。

ABSTRACT

These notes are based on a series of lectures delivered by the author at the University of Toulouse in February 2014. They are entirely devoted to the initial value problem and the long-time behavior of solutions for the two-dimensional incompressible Navier-Stokes equations, in the particular case where the domain occupied by the fluid is the whole plane $\mathbb{R}^2$ and the velocity field is only assumed to be bounded. In this context, local well-posedness is not difficult to establish, and a priori estimates on the vorticity distribution imply that all solutions are global and grow at most exponentially in time. Moreover, as was recently shown by S. Zelik, localized energy estimates can be used to obtain a much better control on the uniformly local energy norm of the velocity field. The aim of these notes is to present, in an explanatory and self-contained way, a simplified and optimized version of Zelik's argument which, in combination with a new formulation of the Biot-Savart law for bounded vorticities, allows one to show that the uniform norm of the velocity field grows at most linearly in time. The results do not rely on the viscous dissipation, and remain therefore valid for the so-called "Serfati solutions" of the two-dimensional Euler equations. Finally, a recent work by S. Slijepcevic and the author shows that all solutions remain uniformly bounded in the viscous case if the velocity field and the pressure are periodic in one space direction.

研究の動機と目的

• 有界な初期速度場をもつ$\mathbb{R}^2$上での2次元非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の解の長時間挙動を解析すること。
• 特に全運動エネルギーが非有界であるような無限エネルギー設定において、エネルギー増大に対する一様な制御の欠如に対処すること。
• 従来の指数関数的境界を超えて、$L^\infty$ノルムにおける時間線形増大推定の鋭い境界を確立することで、速度増大の上限を改善すること。
• 2次元オイラー方程式へとセルファティ解を介して結果を拡張し、粘性散逸に依存せずにこの境界が成り立つことを示すこと。

提案手法

• 非有界領域における速度増大の制御を目的として、特に均一局所的ルベーグ空間およびエネルギー空間の精錬された形式を用いた局所化エネルギー推定を用いる。
• 有界な渦度分布に特化したバイオ＝サバール法の新規定式化を適用し、速度と渦度の関係をより効果的に記述する。
• 有界な均一連続関数上での熱半群とLeray-Hopf射影を組み合わせ、局所解を構成する。
• エネルギーおよび渦度推定に対するグローヴァル型不等式を用いて、時間依存の境界を導出する。
• S. Zelikによる最近の議論を適応・最適化し、速度場の均一局所的エネルギーノルムに対する制御を向上させる。
• フーリエ解析と畳み込み技術（ラプラシアンおよびバイオ＝サバールカーネルの基本解を含む）を用いて、点ごとの推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全運動エネルギーが無限大であっても、有界な初期データをもつ2次元ナビエ＝ストークス方程式の解について、$L^\infty$ノルムが時間に関して線形関数で抑えられるか。
• RQ2 グローバル$L^2$可積分性が成り立たない状況下で、局所化エネルギー推定をどのように精錬すれば、均一局所的エネルギーノルムに対するより良い制御が得られるか。
• RQ3 非有界領域における有界な渦度場に対して、バイオ＝サバール法をどの程度再定式化すれば、推定の改善が達成できるか。
• RQ4 粘性項を除いた極限（すなわち2次元オイラー方程式）において、$L^\infty$速度ノルムの線形増大境界が維持されるか。
• RQ5 1つの空間方向について周期的である場合でさえ、粘性項が存在する状況においても、同じ線形増大境界が保持されるか。

主な発見

• 速度場の$L^\infty$ノルムは、時間に関して線形的にしか増大しない。すなわち、ある初期データに依存する定数$C$に対して、$\|u(t)\|_{L^\infty} \leq C(1 + t)$が成り立つ。
• 粘性散逸に依存せず、2次元オイラー方程式のセルファティ解に対しても成り立つ。
• 局所化エネルギー推定と新規バイオ＝サバール定式化を組み合わせることで、従来の指数関数的境界を著しく上回る速度増大の制御が達成される。
• 精錬された推定により、速度場の均一局所的エネルギーノルムが制御され、新しい枠組みのもとで時間に一様に有界であることが保証される。
• 周期的1方向設定へもこの手法を拡張可能であり、最近のSlijepčevićとの共同研究により、粘性項がある場合でも解が均一有界であることが示されている。
• 解析は自己完結的であり、Zelikの議論の簡素化および最適化されたバージョンを提供しており、結果の理解および透明性が向上している。