[論文レビュー] Infinite families of $2$-designs from two classes of binary cyclic codes with three nonzeros

Xiaoni Du, Rong Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2019

graph theory and CDMA systems参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、三つの非ゼロを持つ二種類の二進循環符号から、無限族の2-デザインを構成する。一つは三誤り訂正BCH符号に関連するもので、もう一つは一般化されたカサミの場合の符号である。重み分布を特定し、アフィン不変性を証明することで、著者らは2-デザインのパラメータを明示的に導出する。m=4のとき、BCH符号の双対において5つの3-デザインが得られる。

ABSTRACT

Combinatorial $t$-designs have been an interesting topic in combinatorics for decades. It is a basic fact that the codewords of a fixed weight in a code may hold a $t$-design. Till now only a small amount of work on constructing $t$-designs from codes has been done. In this paper, we determine the weight distributions of two classes of cyclic codes: one related to the triple-error correcting binary BCH codes, and the other related to the cyclic codes with parameters satisfying the generalized Kasami case, respectively. We then obtain infinite families of $2$-designs from these codes by proving that they are both affine-invariant codes, and explicitly determine their parameters. In particular, the codes derived from the dual of binary BCH codes hold five $3$-designs when $m=4$.

研究の動機と目的

• 三つの非ゼロを持つ二進循環符号の二つのクラスの重み分布を特定すること：一つは三誤り訂正BCH符号に由来し、もう一つは一般化されたカサミの場合の符号に由来する。
• これらの符号がアフィン不変であることを証明し、それらの符号語のサポートからt-デザインを構成可能であることを保証すること。
• これらの循環符号の拡張双対符号から得られる2-デザインのパラメータを明示的に計算すること。
• m=4のとき、三誤り訂正BCH符号の拡張双対符号に3-デザインが存在するか、その構造を調査すること。
• 三つの非ゼロを持つ循環符号とその重み分布を活用することで、線形符号からのt-デザインの既知の構成を拡張すること。

提案手法

• ガウス和と指標和の技法を用いて、GF(2^m) 内の β ≠ 0 に対して、指数和 $ S(a,b,c) = \frac{1}{2} \times \text{Tr}_1^m(a\beta^5 + b\beta^3 + c\beta) $ を特に分析することで、最初の符号クラスの重み分布を導出する。
• プレスのパワーモーメント恒等式を用いて、重み生成関数の係数 $ A_i $ を解き、すべての非ゼロ重みに対して明示的な式を得る。
• 定義集合が成分ごとの部分順序 $ \trianglelefteq $ に関して閉じていることを確認することで、拡張双対符号 $ \bar{\text{C}_1^\bot} $ と $ \bar{\text{C}_2^\bot} $ がアフィン不変であることを証明する。
• 定理3を適用し、アフィン不変符号が、任意の固定された非ゼロ重みの符号語のサポートから2-デザインを生成することを保証する。
• 設計恒等式から導かれる関係式 $ b = \frac{1}{\binom{k}{2}} \times \binom{v}{2} \times \frac{A_k}{\text{1タイプあたりのブロック数}} $ を用いて、各2-デザインのブロック数を計算する。
• m=4における $ \bar{\text{C}_1^\bot} $ における3-デザインを、特定の重みの符号語のサポートが $ \binom{v}{3} \times \text{定数} $ 個のブロックを持つ3-デザインを形成することを確認することで検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三つの非ゼロを持つ三誤り訂正二進BCH符号の双対符号の符号語で固定された重みを持つものから2-デザインが得られるか？
• RQ2 指標和の手法を用いて、三つの非ゼロを持つ二進循環符号の重み分布を完全に特定できるか？
• RQ3 三つの非ゼロを持つ二進循環符号の拡張双対符号が、どのような条件下で2-デザインを生成するか？
• RQ4 m=4のとき、三誤り訂正BCH符号の拡張双対符号に3-デザインが存在するか？
• RQ5 一般化されたカサミの場合に関連する循環符号から、2-デザインの無限族を体系的に構成できるか？

主な発見

• 最初の符号クラス（三誤り訂正BCH符号に関連）の重み分布が完全に特定され、7つの異なる非ゼロ重みが得られた：$ 2^{2s-1} $, $ 2^{2s-1} \backslashpm 2^{s-1} $, $ 2^{2s-1} \backslashpm 2^s $, および $ 2^{2s-1} \backslashpm 2^{s+1} $。
• 重み $ 2^{2s-1} $ の符号語の数は $ 29 \times 2^{6s-6} - 33 \times 2^{4s-6} + 17 \times 2^{2s-4} - 1 $ である。
• 重み $ 2^{2s-1} - 2^{s-1} $ の符号語の数は $ \frac{1}{15}(3 \times 2^{6s} + 3 \times 2^{5s} + 5 \times 2^{4s} + 5 \times 2^{3s} - 2^{2s+3} - 2^{s+3}) $ である。
• 拡張双対符号 $ \bar{\text{C}_1^\bot} $ はアフィン不変であるため、任意の固定された非ゼロ重みの符号語のサポートが2-デザインを形成することが保証される。
• m=4のとき、符号 $ \bar{\text{C}_1^\bot} $ には5つの異なる3-デザインが存在し、重み分布と設計パラメータの検証により確認された。
• 第二の符号クラス（一般化されたカサミの場合）に対しても、同じアフィン不変性と重み分布のアプローチにより、無限族の2-デザインが得られ、パラメータが明示的に計算された。