[論文レビュー] Infinite families of $2$-designs from two classes of linear codes

Xiaoni Du, Rong Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2019

graph theory and CDMA systems参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、特定の生成多項式を持つ循環コードから導かれる拡張コードの二重双対として得られる2つの線型符号のクラスについて、固定された重みを持つ符号語の補助集合から無限族の2デザインを構成する。有限体上の指数和を用いて重み分布を計算することで、著者らは得られる2デザインのパラメータを明示的に決定し、符号パラメータおよびトレース関数に依存する正確なブロックサイズと再現数を持つ無限族として確立する。

ABSTRACT

The interplay between coding theory and $t$-designs has attracted a lot of attention for both directions. It is well known that the supports of all codewords with a fixed weight in a code may hold a $t$-design. In this paper, by determining the weight distributions of two classes of linear codes, we derive infinite families of $2$-designs from the supports of codewords with a fixed weight in these codes, and explicitly obtain their parameters.

研究の動機と目的

• 固定された重みを持つ符号語の補助集合を分析することで、線型符号と2デザインとの間の関係を確立すること。
• 有限体上での指数和を用いて、2つの特定の線型符号クラスの重み分布を同定すること。
• これらの符号における固定重み符号語の補助集合から無限族の2デザインを構成すること。
• 得られる2デザインのパラメータ（ブロックサイズ、ブロック数、再現数）を明示的に計算すること。

提案手法

• 著者らは、特定の生成多項式を持つ循環コードから導かれる拡張コードの二重双対として定義される2つの線型符号クラスを分析する。
• トレース関数 $ Tr: \mathbb{F}_q \to \mathbb{F}_p $ を用いて、符号語を $ (Tr(ax^{p^l+1} + bx + c x)_{x \in \mathbb{F}_q} + h) $ および $ (Tr(ax^{p^l+1} + bx)_{x \in \mathbb{F}_q} + h) $ と定義する。ここで $ a,b,c \in \mathbb{F}_q $、$ h \in \mathbb{F}_p $ である。
• 各符号語のハミング重みは $ w_H(\mathbf{c}) = p^m - T(a,b,h) $ と表され、ここで $ T(a,b,h) $ は $ Tr(ax^{p^l+1} + bx) + h = 0 $ の解の個数を数える。
• ガウス和および $ \mathbb{F}_p $ と $ \mathbb{F}_q $ 上の指標和を用いて、$ T(a,b,h) $ を計算するための指数和技法を適用する。
• 平方剰余およびリーマン記号の性質を用いて、$ m $ の偶奇および $ a^{(q-1)/(p+1)} $ の値に基づく場合分けにより、重み分布を導出する。
• 固定重み符号語の補助集合は2デザインを形成し、そのパラメータは組合せ的恒等式およびこのような符号語の個数を用いて計算される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特定の2つの線型符号クラスの二重双対における固定重み符号語の補助集合が2デザインを形成するか。
• RQ2 コード $ \overline{{\mathcal{C}_1^\perp}}^\perp $ および $ \overline{{\mathcal{C}_2^\perp}}^\perp $ の正確な重み分布は何か。
• RQ3 得られる2デザインのパラメータは、体サイズ $ q = p^m $、指数 $ l $、および $ m $ の偶奇にどのように依存するか。
• RQ4 特定の重みを持つ符号語の補助集合が、一定の再現数を持つ2デザインを形成する条件は何か。
• RQ5 これらのコードから構成された各2デザインのブロック数および再現数は、正確に何個か。

主な発見

• コード $ \overline{{\mathcal{C}_1^\perp}}^\perp $ は正確に8つの異なる非ゼロ重みを有する：$ w_1 = p^m - (p^{m-1} - p^{\frac{m}{2}-1}(p-1)) $、$ w_2 = p^m - (p^{m-1} - p^{\frac{m}{2}}(p-1)) $、$ w_3 = p^m - (p^{m-1} - p^{\frac{m}{2}}) $、$ w_4 = p^m - (p^{m-1} + p^{\frac{m}{2}-1}) $、$ w_5 = p^m - (p^{m-1} + p^{\frac{m}{2}}) $、およびそれらの補集合。
• 重み $ w_4 $ の符号語の個数は $ A_{w_4} = n_{-1,0,0} + (p-1)n_{-1,0,1} $ であり、他の重みに対しても同様の式が得られ、係数は指数和の個数に依存する。
• $ \overline{{\mathcal{C}_2^\perp}}^\perp $ について、$ m $ が奇数のとき、重み分布には3つの異なる非ゼロ重み $ p^{m-1} $、$ p^{m-1} \pm p^{\frac{m-1}{2}} $ が含まれ、それぞれ $ \frac{p^m(p-1)(p^m-1)}{2} $ 回出現する。
• $ m $ が偶数であり、$ a^{(q-1)/(p+1)} \neq (-1)^{m/2} $ のとき、重みは $ p^{m-1} + (-1)^{m/2}p^{\frac{m}{2}-1}(p-1) $ および $ p^{m-1} - (-1)^{m/2}p^{\frac{m}{2}-1} $ であり、出現回数はそれぞれ $ \frac{p^{m+1}(p^m-1)}{p+1} $ および $ \frac{p^{m+1}(p-1)(p^m-1)}{p+1} $ である。
• $ m $ が偶数であり、$ a^{(q-1)/(p+1)} = (-1)^{m/2} $ のとき、重みには $ p^{m-1} - (-1)^{m/2}p^{\frac{m}{2}}(p-1) $、$ p^{m-1} + (-1)^{m/2}p^{\frac{m}{2}} $、および $ p^{m-1} $ が含まれ、出現回数はそれぞれ $ \frac{p^{m-2}(p^m-1)}{p+1} $、$ \frac{p^{m-2}(p^m-1)(p-1)}{p+1} $、および $ (p^m-1)p^{m-1}(p-1) $ である。
• 両方の符号における各固定重み符号語の補助集合は、明示的に計算されたパラメータを持つ2デザインを形成し、再現数 $ \lambda $ はこのような符号語の個数と組合せ的恒等式から導出される。