[論文レビュー] Infinite global fields and the generalized Brauer--Siegel theorem

M. A. Tsfasman, Serge Vlăduţ|ArXiv.org|May 13, 2002

Coding theory and cryptography参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、数体または関数体の塔の極限として得られる無限大域体の理論を構築し、その不変量とゼータ関数を導入する。標準的な仮定 $ n / \log\sqrt{|D|} \to 0 $ を除去することで、ブラウアー＝シーゲルの定理を一般化し、未分岐な塔を含む場合の $ \log hR / \log\sqrt{|D|} $ の漸近的評価を証明する。また、この仮定が必要であることを示す例を構成することで、レギュレーターおよびクラス数の評価を精緻化する。

ABSTRACT

The paper has two purposes. First, we start to develop a theory of infinite global fields, i.e., of infinite algebraic extensions either of ${\mathbb{Q}}$ or of ${\mathbb{F}}_r(t)$. We produce a series of invariants of such fields, and we introduce and study a kind of zeta-function for them. Second, for sequences of number fields with growing discriminant we prove generalizations of the Odlyzko--Serre bounds and of the Brauer--Siegel theorem, taking into account non-archimedean places. This leads to asymptotic bounds on the ratio ${{\log hR}/\log\sqrt{| D|}}$ valid without the standard assumption ${n/\log\sqrt{| D|}} o 0,$ thus including, in particular, the case of unramified towers. Then we produce examples of class field towers, showing that this assumption is indeed necessary for the Brauer--Siegel theorem to hold. As an easy consequence we ameliorate on existing bounds for regulators.

研究の動機と目的

• 無限大域体の基礎的理論を構築し、不変量とゼータ関数を含め、その漸近的算術的性質を研究すること。
• 判別式が増大する数体の列に対して、古典的ブラウアー＝シーゲルの定理を $ n / \log\sqrt{|D|} \to 0 $ を仮定せずに一般化すること。
• 未分岐なクラス体塔を含む、ブラウアー＝シーゲル比 $ \log hR / \log\sqrt{|D|} $ の漸近的評価を確立すること。
• 具体的な例（例えば未分岐2-塔）を用いて、古典的定理における標準的仮定の必要性を示す無限大域体の構成を行うこと。
• 非アーチメティック的素点の解析と明示公式の使用により、レギュレーターおよびクラス数の既存の評価を改善すること。

提案手法

• 数体の genus を $ g = \log\sqrt{|D|} $ と定義し、関数体の場合はそれらの背後にある曲線の genus を用いる。対数の底を一貫させることで、結果の統一を図る。
• 有限拡大のゼータ関数の極限として、無限大域体に対するゼータ関数を定義し、その解析的性質を分析する。
• 明示公式と小規約の素点数の評価を用い、一般化されたリーマン予想（GRH）と条件なしの推定を併用する。
• 明示公式から導かれる不等式を用いて、小規約の素点数の上限を最適化し、ブラウアー＝シーゲル比を制約する。
• 例えばマーティネの体を用いた未分岐塔を通じて、無限大域体の具体例を構成し、精密な推定を用いてブラウアー＝シーゲル比の上界・下界を計算する。
• ゼータ関数のアデール的積分表現を用い、推定値を精緻化することで、GRHのもとおよび条件なしに有効な評価を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ n / \log\sqrt{|D|} \not\to 0 $ である数体の列に対して、ブラウアー＝シーゲルの定理を一般化することは可能か。特に未分岐塔の場合に有効か。
• RQ2 一般化されたリーマン予想を仮定しないで、漸近的に正確な数体族に対するブラウアー＝シーゲル比は、常に定義可能か。
• RQ3 特に未分岐塔の場合に、無限大域体におけるブラウアー＝シーゲル比の最良の上界および下界は何か。
• RQ4 明示的な誤差項を伴う有効な一般化ブラウアー＝シーゲル定理を導出できるか。
• RQ5 ブラウアー＝シーゲル比が従来の評価よりも小さかったり、大きかったりするクラス体塔の例は存在するか。

主な発見

• 本稿は、$ n / \log\sqrt{|D|} \to 0 $ の仮定を除いても、特定の数体族に対してブラウアー＝シーゲル比 $ \log hR / \log\sqrt{|D|} $ が約 0.7108 未満に有界であることを証明している。
• 実マーティネの体 $ K = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3\cdot5\cdot7\cdot23\cdot29}) $ の無限未分岐2-塔のブラウアー＝シーゲル比は、区間 $ (0.8009, 0.9248) $ の間にあり、未分岐設定における非自明な振る舞いを示している。
• 著者らは、標準的仮定 $ n / \log\sqrt{|D|} \to 0 $ が古典的ブラウアー＝シーゲルの定理に必要であることを、例えば未分岐塔のような例を構成することで示している。この場合、比は1に収束しない。
• 小規約の素点に対する最適化を用いることで、改善された仮定のもとでブラウアー＝シーゲル比の上界が約 0.623 に達することを導出し、以前の推定を改善している。
• 漸近的に正確な族に対して、条件なしのブラウアー＝シーゲル比の上界を提供しており、精密化された技術を用いれば同様の下界も確立できると予想している。
• 有効な一般化ブラウアー＝シーゲル定理の提案がなされ、剰余項はゼータ関数のアデール的積分表現における推定値の精緻化によって改善可能である。