[論文レビュー] Infinite Grassmannians and Moduli Spaces of G-bundles

Shrawan Kumar|ArXiv.org|Oct 30, 1995

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、無限次元のグラスマンニアンとアフィンカク＝ムードィ表現論を介して、滑らかな射影的曲線上の半安定G-バンドルのモジュライ空間と一般化されたシータ関数の空間との間に深い関係を確立する。モジュライ空間上のθ線束のd乗のグローバル切断の空間が、$​\text{Hom}^{\text{inv}}(L(\bbC, dm_V)^*, \bbC)$ に同型であることを証明しており、これはコンformal field theoryの真空に一致する。整数$m_V$は表現$V$のディンキン指数として特定される。この結果は、古典的なボレル＝ヴァイルの定理をカク＝ムードィの設定に一般化し、コンformal field theoryの不変量の幾何的実現を提供する。

ABSTRACT

This lecture note is devoted to prove that the space of vacua is isomorphic with the space of generalized theta functions (joint work with M.S. Narasimhan, and A. Ramanathan)

研究の動機と目的

• 代数的曲線上のG-バンドルのモジュライ空間を用いて、コンフォーマル場理論の真空の空間の幾何的実現を確立すること。
• G-表現$V$の有限次元表現のディンキン指数$m_V$を、G-バンドルのモジュライ空間上の行列式線束を介して特定すること。
• 半安定G-バンドルのモジュライ空間上のθ線束のd乗のグローバル切断の空間が、$\text{Hom}^{\text{inv}}(L(\bbC, dm_V)^*, \bbC)$ に同型であることを証明すること、すなわち、真空の空間に一致すること。
• 無限次元グラスマンニアン内の一般化されたシューベルト多様体の有理型性を用いて、半安定G-バンドルのモジュライ空間が有理型であることを示すこと。

提案手法

• 曲線$C$上のG-バンドルのパラメータ空間として、$\mathcal{G} = G(\hat{k}_p)$ および $\mathcal{P} = G(\hat{\mathcal{O}}_p)$ である無限次元グラスマンニアン$X = \mathcal{G}/\mathcal{P}$ を用いる。
• アフィンカク＝ムードィ設定におけるボレル＝ヴァイルの定理を適用し、$H^0(X, \mathfrak{L}(d\chi_0))$ を可積分最高重量モジュール$L(\bbC, d)^*$ の双対と特定する。
• 降下補題（命題4.1）と拡張結果（命題6.5）を用いて、グラスマンニアンからモジュライ空間への線束の降下を実行する。
• 曲線$C \setminus p$上の任意のG-バンドルが自明であるという事実を用いて、G-バンドルのモジュライ空間を二重コセット空間$\Gamma \backslash \mathcal{G} / \mathcal{P}$ と同一視する。
• リーマン・ロッホの定理を適用し、関連するベクトルバンドルのコhomologyの行列式を計算することで、$m_V$ が$V$のディンキン指数に一致することを導く。
• GAGAと代数的・解析的ピカール群のGAGA型同型を用いて、$\text{Pic}(X_{\mathfrak{w}}) \to H^2(X_{\mathfrak{w}}, \bbZ)$ が同型であることを証明し、これを帰納的極限$X$に持ち上げる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的曲線上のG-バンドルのモジュライ空間を用いて、コンフォーマル場理論の真空の空間をどのように幾何的に実現できるか？
• RQ2 関連するベクトルバンドルのコホモロジーの行列式と表現$V$のディンキン指数との間の明確な関係は何か？
• RQ3 群$\Gamma = \text{Mor}(C\setminus p, G)$ が無限次元グラスマンニアン上で作用するとき、その作用が線束$\mathfrak{L}(m_V\chi_0)$ にどのように持ち上がり、その意義は何か？
• RQ4 無限次元グラスマンニアン内の一般化されたシューベルト多様体の幾何を用いて、半安定G-バンドルのモジュライ空間が有理型であることを示せるか？
• RQ5 モジュライ空間上のθ線束のd乗のグローバル切断の空間と、可積分最高重量モジュールの双対における$\Gamma$-不変ベクトルの空間との間に、自然な同型が存在するか？

主な発見

• 半安定G-バンドルのモジュライ空間$\mathfrak{M}$ 上のθ線束のd乗のグローバル切断の空間は、$L(\bbC, dm_V)^*$ 内の$\Gamma$-不変ベクトルの空間に同型であり、これはコンフォーマル場理論における真空の空間に一致する。
• $\text{Det}(\mathcal{U}(V)) \simeq \mathfrak{L}(m_V\chi_0)$ を満たす整数$m_V$ は、表現$V$ のディンキン指数に等しく、特に$V$ が随伴表現の場合は$m_V = 2h^\vee$ となる。ここで$h^\vee$ は双対コクサーフェッター数である。
• 半安定G-バンドルのモジュライ空間$\mathfrak{M}$ は、無限次元グラスマンニアン内の一般化されたシューベルト多様体$X_{\mathfrak{w}}$ の有理型性のおかげで有理型である。
• 無限次元グラスマンニアン$X$ のピカール群は、$\bbZ$ に同型であり、$\mathfrak{L}(\chi_0)$ によって生成され、これは有限次元のシューベルト多様体への制限と整合する。
• チェーン類写像$c_1: \text{Pic}(X_{\mathfrak{w}}) \to H^2(X_{\mathfrak{w}}, \bbZ)$ は同型であり、これにより$\text{Pic}(X) \to \varprojlim \text{Pic}(X_{\mathfrak{w}})$ の同型が誘導され、$\text{Pic}(X)$ の構造を証明するのにも用いられる。
• 自然写像$\alpha: \text{Pic}(X) \to \varprojlim_{\mathfrak{w}} \text{Pic}(X_{\mathfrak{w}})$ は同型であり、各$X_{\mathfrak{w}}$ 上の線束が自明であることと、局所的な自明化を一意に拡張できるという事実から従う。