[論文レビュー] Infinite horizon backward stochastic Volterra integral equations and discounted control problems

Yushi Hamaguchi|arXiv (Cornell University)|May 6, 2021

Stochastic processes and financial applications参考文献 49被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、重み付き L² 空間における無限時限後退確率ボルテラ積分方程式（BSVIE）の適応的 M-解の存在および一意性を確立し、有限時限の双対性および定数変化の結果を拡張する。これらを用いて、割引コスト関数を持つ無限時限確率的制御問題に応用し、無限時限 BSVIE として定式化された随伴方程式を用いたポントレヤーギンの最大原理により、必要および十分な最適性条件を導出する。

ABSTRACT

Infinite horizon backward stochastic Volterra integral equations (BSVIEs for short) are investigated. We prove the existence and uniqueness of the adapted M-solution in a weighted $L^2$-space. Furthermore, we extend some important known results for finite horizon BSVIEs to the infinite horizon setting. We provide a variation of constant formula for a class of infinite horizon linear BSVIEs and prove a duality principle between a linear (forward) stochastic Volterra integral equation (SVIE for short) and an infinite horizon linear BSVIE in a weighted $L^2$-space. As an application, we investigate infinite horizon stochastic control problems for SVIEs with discounted cost functional. We establish both necessary and sufficient conditions for optimality by means of Pontryagin's maximum principle, where the adjoint equation is described as an infinite horizon BSVIE. These results are applied to discounted control problems for fractional stochastic differential equations and stochastic integro-differential equations.

研究の動機と目的

• 後退確率的ボルテア積分方程式（BSVIE）の理論を有限時限から無限時限に拡張すること。
• 重み付き L² 空間における無限時限型 I 及び型 II BSVIE の適応的 M-解の存在および一意性を証明すること。
• 有界でない係数を含む無限時限設定における双対性原理および定数変化の公式を一般化すること。
• 無限時限 BSVIE フレームワークを、割引コスト関数を持つ確率的制御問題に応用すること。
• 前向き SVIE の無限時限確率的制御のための必要および十分な最適性条件を、BSVIE 形式の随伴方程式を用いたポントレヤーギンの最大原理により導出すること。

提案手法

• 割引率 λ を含む、自由項および Z(s,t) に依存する駆動項を持つ無限時限型 II 形式の割引付き BSVIE を導入する。
• 0 ≤ s ≤ t ≤ ∞ における Z(t,s) のマルティングール表現定理を用いて、適応的 M-解の概念を定義する。
• 重み η と割引率 λ のトレードオフを分析することにより、重み付き L² 空間における適応的 M-解の存在および一意性を証明する。
• 重み付き L² 空間における線形前向き SVIE と無限時限線形型 II BSVIE 間の双対性原理を確立する。
• 有界でない係数を含む無限時限線形型 I BSVIE に対する定数変化の公式を導出し、有限時限結果を一般化する。
• 随伴方程式を無限時限 BSVIE として定式化することで、無限時限確率的制御問題にフレームワークを適用し、ポントレヤーギンの原理を用いて最適性条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 割引率 λ と重み η がどのような条件下で、重み付き L² 空間における無限時限 BSVIE が一意な適応的 M-解を有するか？
• RQ2 有界でない係数を含む無限時限設定において、前向き SVIE と無限時限 BSVIE 間の双対性原理を有限時限から無限時限にどのように拡張できるか？
• RQ3 無限時限線形型 I BSVIE に対する定数変化の公式は何か？ また、これは有限時限結果をどのように一般化するか？
• RQ4 状態過程が前向き SVIE である無限時限確率的制御問題において、割引コスト関数を持つ場合にポントレヤーギンの最大原理をどのように適用できるか？
• RQ5 特異係数を有する SVIE の無限時限確率的制御のための必要および十分な最適性条件は何か？ そして、これらはどのように BSVIE 形式の随伴方程式で表現されるか？

主な発見

• 本稿は、重み付き L² 空間における無限時限 BSVIE の適応的 M-解の存在および一意性を証明し、解の適切な定義条件が割引率 λ と解空間の重み η の相互作用に依存することを示している。
• 有界でない係数を含む無限時限線形型 I BSVIE に対する定数変化の公式を確立し、Hu と Øksendal (2010) および Wang, Yong, および Zhang (2016) の結果を有界でない係数にまで一般化した。
• 重み付き L² 空間における線形前向き SVIE と無限時限線形型 II BSVIE 間の双対性原理を証明し、Yong (2006) の結果を無限時限設定に一般化した。
• 割引コスト関数を持つ無限時限確率的制御問題に対して、ポントレヤーギンの最大原理を用いて必要および十分な最適性条件を導出し、随伴方程式を無限時限 BSVIE として定式化した。
• 最適性条件は、随伴過程と制御の間の変分不等式として表現され、随伴過程はイト＝ボルテア型の予測可能後退確率微分方程式（anticipated BSDE）を満たす。
• フレームワークは分数自己回帰的確率微分方程式および確率的積分微分方程式に応用され、無限時限 BSVIE の手法が記憶効果および特異係数を有するモデルを扱えることを示した。