[論文レビュー] Infinite J-matrices and a matrix moment problem

M. Krein|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2016

Matrix Theory and Algorithms参考文献 1被引用数 98

ひとこと要約

本論は自己完結型の regular J_p-matrices (p>1) の理論を展開し、それらを行列モーメント問題に結びつける。存在、唯一性、および行列関数による解のパラメータ化を含む。Krein’s の欠陥指数を持つエルミート作用素に関する初期の研究を拡張し、関連する行列多項式およびレゾルベント関係の構成を提供する。

ABSTRACT

This is a translation of a paper that appeared (in Russian) in Dokl. Akad. Nauk SSSR 69, nr 2 (1949), 125-128.

研究の動機と目的

• ベクトル値境界値問題の代数モデルとして無限の regular J_p-matrices の研究を動機づける。
• regular J_p-matrices を行列モーメント問題と関連づけ、基礎的性質を確立する。
• 与えられた J_p-matrix に結びつく行列多項式列を構築し、解析する。
• 行列モーメント問題とその解の可解性および正規化条件を探究する。

提案手法

• regular J_p-matrices を、トリディアゴナルなブロック構造をもち、非特異な非対角ブロック A_{i,i+1} をもつ無限次元の Hermitian 行列として定義する。
• D_k(λ) の行列多項式列を、D_{-1}=0、D_0(λ) は任意の非特異である三項再帰関係によって導入する。
• H(z) の極限存在を示す：H(z) = lim_{n→∞} (sum_{k=0}^n D_k^*(z̄) D_k(z))^{-1} およびその階数 r(z) を、結合された Hermitian 演算子 A の欠陥指数 ν_+ および ν_- に関連づける。
• 任意の次数 n の多項式 P(λ) が P(λ)=sum_{k=0}^n U_k D_k(λ) と表現できることを示し、二項双線形に類似した性質をもつ形式 {P,Q} を定義する。
• 行列モーメント問題 S_n = ∫ λ^n dT(λ) を確立し、形式 {S_n} の正定性と関連不変量による可解性を示す。
• 一意な正規化解 T(λ) の条件を提供し、 ν_+ = ν_- = p のときすべての正規化解の集合を特徴づける。分解にはレゾルベント表現と holomorphic matrix-function のパラメータ化を含む。
• A の自身冪拡張を単位行列 U に結びつけ、そのスペクトルを G_1, G_2, V(z) を用いて構成された行列式の零と関連づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 regular J_p-matrix に関連する演算子の欠陥指数と行列モーメント問題の可解性の正確な関係は何か？
• RQ2 行列多項式 D_k(λ) を用いて行列モーメント問題の解をどう構築・解析できるか？
• RQ3 行列モーメント問題が一意に可解となる条件は何か、 ν_+ = ν_- = p のとき正規化解はどうパラメータ化できるか？
• RQ4 上半平面の holomorphic な p×p 行列関数は行列モーメント問題のすべての正規化解をどうパラメータ化するか？
• RQ5 演算子の自身冪拡張と G_1, G_2, V(z) を含む行列式条件によって決まるスペクトルにはどんな関係があるか？

主な発見

• H(z) の階数 r(z) は上半平面および下半平面内で一定であり、欠陥指数 ν_+ および ν_- を規定し、作用素の拡張を特徴づける。
• 欠陥指数のうち少なくとも一方が零の場合に限りモーメント問題は一意な正規化解 T(λ) を持つ。
• ν_+ = ν_- = p のとき、逆 H^{-1}(z) が存在し、境界条件の下で bounds が成り立つ：T(ξ+0)−T(ξ−0) ≤ H^{-1}(ξ)。
• ν_+ = ν_- = p のとき、各正規化解 T(λ) は上半平面の holomorphic な p×p 行列関数 V(z) との一対一対応をもち、∥V(z)∥ ≤ 1 を満たす、特定の行列関数的同一性を介して決まる。
• 任意の自身逐一次拡張のスペクトルは、det[G_1(z)(I+U)+iG_2(z)(I−U)]=0 の根に対応し、その U はユニタリ行列である。
• 構成には E_k および D_k から構成される全合成行列関数 F_1, F_2, G_1, G_2 を用い、T(λ) のレゾルベント様表現を表す。