[論文レビュー] Infinite limits of finite-dimensional permutation structures, and their automorphism groups

Samuel Braunfeld|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Advanced Topology and Set Theory参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、有限個の線形順序を持つ均一な有限次元置換構造——つまり、有限個の線形順序を持つ構造——を、すべてのsuch構造を生成すると予想される構成法を提示し、その結合クラスにおける構造的ラマシー定理を証明し、モデル理論的道具を用いて自己同型群を分析することで調査する。また、グラフ理論的決定問題への還元を用いて、有限制約付き置換回避クラスにおける合同埋め込み性および合同準同型性の決定不能性を確立する。

ABSTRACT

In the course of classifying the homogeneous permutations, Cameron introduced the viewpoint of permutations as structures in a language of two linear orders [7], and this structural viewpoint is taken up here. The majority of this thesis is concerned with Cameron's problem of classifying the homogeneous structures in a language of finitely many linear orders, which we call finite-dimensional permutation structures. Towards this problem, we present a construction that we conjecture produces all such structures. Some evidence for this conjecture is given, including the classification of the homogeneous 3-dimensional permutation structures. We next consider the topological dynamics, in the style of Kechris, Pestov, and Todorčević, of the automorphism groups of the homogeneous finite-dimensional permutation structures we have constructed, which requires proving a structural Ramsey theorem for all the associated amalgamation classes. Because the 0-definable equivalence relations in these homogeneous finite-dimensional permutation structures may form arbitrary finite distributive lattices, the model-theoretic algebraic closure operation may become quite complex, and so we require the framework recently introduced by Hubička and Nešetril [16]. Finally, we turn to the interaction of model theory with more classical topics in the theory of permutation avoidance classes. We consider the decision problem for whether a finitely-constrained permutation avoidance class is atomic, or equivalently, has the joint embedding property. As a first approximation to this problem, we prove the undecidability of the corresponding decision problem in the category of graphs. Modifying this proof also gives the undecidability, in the category of graphs, of the corresponding decision problem for the joint homomorphism property, which is of interest in infinite-domain constraint satisfaction problems. The results in the first 8 chapters of this thesis largely appeared in the previous articles [4], [5], and [6]. In many places the arguments and context have been expanded upon, and in the case of some arguments from [4], they have been simplified.

研究の動機と目的

• 有限個の線形順序からなる言語におけるすべての均一構造、いわゆる有限次元置換構造を分類すること。
• すべてのsuch均一構造を生成すると予想される構成法を提示し、その証拠を提供すること。
• 構造的ラマシー定理を用いて、その自己同型群の位相的力学的性質を分析すること。
• 0-定義可能な同値関係が任意の有限分配的ラティスを形成する場合に生じるモデル理論的複雑性を調査すること。
• 有限制約付き置換回避クラスにおけるアトミック性および合同埋め込み性の決定可能性を検討すること。

提案手法

• 置換を2つの順序構造として扱うCameronの構造的視点を、複数の線形順序に拡張すること。
• すべての均一な有限次元置換構造を生成すると予想される構成メカニズムを導入すること。
• HubičkaとNešetrilの枠組みを用いて、複雑な代数的閉包を扱うために、関連する結合クラスにおける構造的ラマシー定理を証明すること。
• Kechris, Pestov, Todorčevićに従い、位相的力学の観点から自己同型群を分析すること。
• 置換回避クラスにおける決定問題を、グラフ理論における同等の問題に還元することで、決定不能性を確立すること。
• 既知のモデル理論および制約充足問題の結果を活用し、グラフから置換クラスへの決定不能性の転送を図ること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての均一な有限次元置換構造の完全なクラスは何か。また、それらは一様に構成可能か。
• RQ2 これらの構造の自己同型群は、位相的力学的観点からどのように振る舞うか。
• RQ3 0-定義可能な同値関係の複雑性は、これらの構造のモデル理論的性質にどの程度影響を与えるか。
• RQ4 有限制約付き置換回避クラスにおける合同埋め込み性は決定可能か。
• RQ5 無限域置換クラスにおける合同準同型性と制約充足問題の関係は何か。

主な発見

• すべての均一な有限次元置換構造を生成すると予想される構成法が提示され、3次元の場合の分類といった支援的証拠を含む。
• 構成された均一構造に関連するすべての結合クラスに対して、構造的ラマシー定理が確立された。
• HubičkaとNešetrilの枠組みが、0-定義可能な同値関係の任意の有限分配的ラティスから生じる複雑なモデル理論的代数的閉包を処理するために効果的に適用された。
• 有限制約付き置換回避クラスがアトミック（すなわち、合同埋め込み性を有する）かどうかを判定する決定問題が、決定不能であることが証明された。
• 決定不能性の結果は、グラフの圏における合同準同型性の問題へも拡張され、それが置換設定における決定不能性を示すことを示した。
• 先行研究[4]、[5]、[6]の結果が拡張・簡略化され、特にモデル理論的議論において明確化された。