[論文レビュー] Infinite many Blow-up solutions for a Schrödinger quasilinear elliptic problem with a non-square diffusion term

Carlos Alberto Santos, Jiazheng Zhou|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^N$ 上の非平方拡散項を有する擬線形シュレーディンガー型楕円型方程式に対して、双対変分的アプローチとポテンシャルの振動の詳細な解析を用いて、無限に多くの爆発解の存在を確立する。主な結果は、係数$a(x)$の適切な減衰および振動条件と、非増加関数$g$の下で、無限に多くの正の解が無限遠で爆発することである。

ABSTRACT

In this paper, we consider existence of positive solutions for the Schrödinger quasilinear elliptic problem $$ \left\{ \begin{array}{l} Δ_pu+Δ_p(|u|^{2γ})|u|^{2γ-2}u = a(x)g(u)~ \mbox{on}~ \mathbb{R}^N,\\ u>0\ \mbox{in}~\mathbb{R}^N,\ u(x)\stackrel{\left|x ight| ightarrow \infty}{\longrightarrow} \infty, \end{array} ight. $$ where $a(x), ~x\in \mathbb{R}^N$ and $g(s)~s>0$ are a nonnegative and continuous functions with $g$ being nonincreasing as well, $γ>{1}/{2}$, and $N \geq 1$. By a dual approach we establish sufficient conditions for existence and multiplicity of solutions for this problem.

研究の動機と目的

• 非平方拡散項を有する$\mathbb{R}^N$ 上の擬線形シュレーディンガー方程式に対する正の解の存在と多重性を確立すること。
• このような擬線形問題における非平方拡散項を有する爆発解に関する先行研究の不足を補うこと。
• 半線形および径対称の場合の先行存在結果を、一般の非増加非線形性$g$を有する擬線形で径対称でない設定に拡張すること。
• ポテンシャル$a(x)$の振動、特に$a_{\text{osc}}(r) = \overline{a}(r) - \underline{a}(r)$として定義されるものにより、解の無限多重性がどのように果たすかを同定すること。
• 非凸で標準的でない拡散構造$\Delta_p(|u|^{2\gamma})|u|^{2\gamma-2}u$を扱える双対変分的枠組みを構築すること。

提案手法

• 元の問題を新たな未知関数$w = f(u)$を含む双対形式に変換することで、双対変分的アプローチを採用する。ここで$f$は適切な微分同相写像である。
• 問題の径対称性とポテンシャル$a(x)$の径対称性の仮定に基づき、変換された常微分方程式に対する径対称解$w_{\alpha}(r)$を定義する。
• 球面上での$a(x)$の上界と下界の差を制御するため、振動関数$a_{\text{osc}}(r) = \overline{a}(r) - \underline{a}(r)$を導入する。
• 拡大する球体$B_n(0)$における下解・上解技術を用いて、近似解$w_n$の列を構成し、$w \in C^1(\mathbb{R}^N)$への収束を示す。
• Keller-Osserman型の条件の下で、$\overline{a}(t)$と関数$\mathcal{G}(t) = \int_1^t \frac{ds}{g(s)^{1/(p-1)}}$の逆関数を含む積分推定を用いて、$w_{\alpha}(r)$の点ごとの上限を確立する。
• 任意の$\alpha > \mathcal{A}$および$\epsilon > 0$に対して、$|x| \to \infty$のとき$w(x) \to \infty$となる解$w$の存在を示すために、積分$\overline{H} = \int_0^\infty \mathcal{H}(s) \, ds$を用いた背理法による解分岐の無限への延長を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非平方拡散項を有する擬線形シュレーディンガー方程式が、無限遠で爆発する正の解を有するための$a(x)$および$g(u)$の条件は何か？
• RQ2 振動関数$a_{\text{osc}}(r)$で測定されるポテンシャル$a(x)$の振動は、爆発解の存在および多重性にどのように影響するか？
• RQ3 双対変分的アプローチは、$\gamma > 1/2$を満たす非凸で非標準的な拡散項$\Delta_p(|u|^{2\gamma})|u|^{2\gamma-2}u$を扱えるように適応可能か？
• RQ4 $a(x)$が径対称でない場合でも、非可算に多くの異なる正の解を構成することは可能か？
• RQ5 Keller-Osserman型の積分条件$\int_1^\infty \frac{dt}{g(t)^{1/(p-1)}} = \infty$は、爆発解の存在を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• ポテンシャル$a(x)$が$\int_0^\infty r a_{\text{osc}}(r) \exp(\underline{A}(r)) \, dr < \infty$を満たす限り、無限に多くの正の解が無限遠で爆発する。ここで$\underline{A}(r) = \int_0^r s \underline{a}(s) \, ds$である。
• 任意の$\alpha > \mathcal{A}$に対して、十分大きな$r$に対して$w_{\alpha}(r) \leq \mathcal{G}^{-1}\left(r \left(\int_0^r \overline{a}(t) \, dt\right)^{1/p - 1}\right)$を満たす解$w_{\alpha}$が存在する。
• 条件$\int_0^\infty \mathcal{H}(s) \, ds \leq \overline{H} < \infty$の下で、$\alpha > \mathcal{A}$である解分岐$w_{\alpha}$が無限にまで延長可能であり、$|x| \to \infty$のとき$w(x) \to \infty$となる解$w$の存在が保証される。
• 初期パラメータ$\alpha > \mathcal{A}$を変化させることで、非可算に多くの異なる解が得られ、結果として爆発解の無限多重性が得られる。
• 証明は、$S(\beta_0) < \infty$ならば$\beta_0 \leq \alpha + \overline{H}$であるが、これは$\beta_0 > \alpha + \overline{H}$に矛盾するため、$S(\beta_0) = \infty$でなければならないことを示す背理法に依拠している。
• 非凸で非平方の拡散項を扱うにあたり、問題を双対的枠組みに変換することで、比較原理と積分推定が適用可能になる。