[論文レビュー] Infinite matroid union

Elad Aigner‐Horev, Johannes Carmesin+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 10被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、2つのほぼ有限的マトロイドの和集合がマトロイドであることを確立し、有限的マトロイドを一般化する無限マトロイドの新クラスを導入する。また、ほぼ有限的マトロイドが、和定理が成り立つクラスとして本質的に最大であることを証明し、基底パッキングおよびカバー理論を余有限的マトロイドへと拡張し、無限グラフにおけるDiestelとTutteの木パッキング結果をマトロイド論的証明で再確認する。

ABSTRACT

We consider the problem of determining whether the union of two infinite matroids is a matroid. We introduce a superclass of the finitary matroids, the nearly finitary matroids, and prove that the union of two nearly finitary matroids is a nearly finitary matroid. On the other hand, we prove that the union of two arbitrary infinite matroids is not necessarily a matroid. Indeed, we show (under a weak additional assumption) that the nearly finitary matroids are essentially the largest class of matroids for which one can have a union theorem. We then extend the base packing theorem for finite matroids to finite families of co-finitary matroids. This, in turn, yields a matroidal proof for the tree-packing results for infinite graphs due to Diestel and Tutte.

研究の動機と目的

• 2つの無限マトロイドの和集合がマトロイドとなる条件を特定すること。
• 和定理が成り立つ無限マトロイドの最大クラスを同定すること。
• 特に基底パッキングおよびカバー定理を含む有限マトロイドの定理を、無限の設定、特に余有限的マトロイドへと拡張すること。
• 無限グラフにおける木パッキング結果をマトロイド論的証明で再確認すること。

提案手法

• ほぼ有限的マトロイドの概念を導入する。これは、そのファイナリゼーションの任意の基底が、元のマトロイドの基底と有限差をもつマトロイドとして定義される。
• 2つのほぼ有限的マトロイドの和集合が、ほぼ有限的マトロイドであることを証明し、このクラスに対する和定理を確立する。
• 相対的ランクおよびファイナリゼーションの閉包性質を用いて、余有限的マトロイドの有限族への基底パッキング定理を拡張する。
• 有限マトロイドの和定理を用いて、矛盾と有限部分構造を介して、有限マトロイドに対する基底カバー定理を導出する。
• 独立集合がサイクルと交わる構成を用いて、ほぼ有限的条件が満たされない場合、和集合がマトロイドでなくなることを示す。
• 双対性およびファイナリゼーションと余有限的マトロイドの構造を活用し、有限マトロイドの定理を無限の設定へ一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの無限マトロイドの和集合がマトロイドであるのはどのような条件下か？
• RQ2 ほぼ有限的マトロイドのクラスは、和定理の性質に関して最大であるか？
• RQ3 有限マトロイドの基底パッキング定理は、無限マトロイドへ拡張可能か？ もしそうなら、どのような条件下で可能か？
• RQ4 ファイナリゼーションおよび余有限的構造が、このような拡張を可能にする役割は何か？
• RQ5 マトロイド論的道具を用いて、無限グラフの結果（例：木パッキング定理）を再証明できるか？

主な発見

• 2つのほぼ有限的マトロイドの和集合は、ほぼ有限的マトロイドである。このクラスに対する強固な和定理が確立される。
• ほぼ有限的マトロイドのクラスは本質的に最大である。このクラスに属さない任意のマトロイドを有限的マトロイドのクラスに加えると、和定理が破綻する。
• 弱い条件を満たす任意のほぼ有限的でないマトロイド $ N $ に対して、$ \bigcup \big( \text{Ind}(M) \times \text{Ind}(N) \big) $ がマトロイドでないような有限的マトロイド $ M $ が存在する。
• 相対的ランクおよび閉包性質を用いて、余有限的マトロイドの有限族への基底パッキング定理が拡張される。
• 有限マトロイドに対する基底カバー定理が証明される：有限マトロイド $ M $ が $ k $ 個の独立集合で被覆可能であるための必要十分条件は、すべての有限 $ X \subseteq E(M) $ に対して $ \operatorname{rk}_M(X) \geq |X|/k $ が成り立つことである。
• 本研究の結果により、DiestelとTutteの無限グラフにおける木パッキング定理が、拡張された基底パッキング定理を用いてマトロイド論的証明が可能になる。