[論文レビュー] Infinite Oracle Queries in Type-2 Machines (Extended Abstract)

Arno Pauly|ArXiv.org|Jul 20, 2009

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 12被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、無限回のオラクルクエリを可能にするOracle-Type-2-Machinesを導入し、計算可能オラクルの場合に計算パワーを増加させることなく、Type-2計算可能性を非連続関数へ拡張する。このモデルはType-2機械とBSS機械を統合し、Weihrauch還元性を捉え、Zieglerの再修正計算やType-2非決定的計算といったモデルを特別なケースとして包含する。

ABSTRACT

We define Oracle-Type-2-Machine capable of writing infinite oracle queries. In contrast to finite oracle queries, this extends the realm of oracle-computable functions into the discontinuous realm. Our definition is conservative; access to a computable oracle does not increase the computational power. Other models of real hypercomputation such as Ziegler's (finitely) revising computation or Type-2-Nondeterminism are shown to be special cases of Oracle-Type-2-Machines. Our approach offers an intuitive definition of the weakest machine model capable to simulate both Type-2-Machines and BSS machines.

研究の動機と目的

• 計算可能オラクルに対して計算パワーが標準的なType-2機械を超えないように、無限のオラクルクエリを許容する機械モデルを構築し、Type-2計算可能性を非連続関数へ拡張すること。
• 計算可能オラクルへのアクセスが、標準的なType-2機械の計算パワーを上回らないように保証すること。
• BSS機械やZieglerの再修正計算といった、異なる実数超計算モデルを、統一的な枠組みの下に統合すること。
• オラクルアクセスを用いて還元性をモデル化することで、Weihrauch次数の計算的基盤を提供すること。
• 既存の超計算モデル（例：Type-2非決定的計算、再修正計算）が、提案されたオラクルモデルの特別なケースであることを示すこと。

提案手法

• 標準的なType-2機械モデルを拡張し、頂点がオラクルに対して無限回のクエリを発行可能とし、クエリの結果は完了後に処理されるようにする。
• 無限テープと超限計算ステップを持つ構成を定義し、無限クエリ応答の処理を可能にする。
• 無限クエリとその後続計算をサポートする遷移関係を導入し、Type-2機械の構造を保持する。
• 他の超計算モデル（再修正計算や非決定的計算など）をシミュレートするために、LPO（lim-inf演算子）を主要なオラクルとして用いる。
• オラクル計算の概念を用いて、Type-2機械とBSS機械の両方をシミュレート可能な一様なモデルを定義する。
• Weihrauch還元性を、関数の非計算可能性および不連続性の度合いを分析する枠組みとして用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計算可能オラクルに対して計算パワーが標準的なType-2機械を超えないように、無限のオラクルクエリを許容する機械モデルを構築できるか？
• RQ2 一様な機械モデルにおいて、Weihrauch還元性をオラクル計算の形として実現する方法は何か？
• RQ3 Zieglerの再修正計算やType-2非決定的計算といった既存の実数超計算モデルは、より一般なオラクル機械モデルの特別なケースとして捉えられるか？
• RQ4 無限クエリが可能な機械の計算パワーは何か？ そして、オラクルが計算可能である場合、標準的なType-2計算可能性を超えるか？
• RQ5 この枠組みを用いて、ナッシュ均衡の探索や力学系の安定性といった問題の不連続性の度合いを分析できるか？

主な発見

• 計算可能オラクルの場合、Oracle-Type-2-Machinesは無限クエリを可能にしても計算パワーが増加せず、モデルの保守性が保たれる。
• LPO問題へのオラクルアクセスを通じて、Zieglerの（有限の）再修正計算が特別なケースとして包含される。
• Type-2非決定的計算は、UnProject問題への単一のオラクル呼び出しと同等であり、非決定的計算が決定的にシミュレート可能であることを示す。
• UnProject問題がその有限版とWeihrauch同等であることが示され、非決定的モデルの堅牢性が示唆される。
• テスト演算子と連続乗算ゲートを備えた算術回路は、LPOオラクルへの有限回の呼び出しによりOracle-Type-2-Machinesでシミュレート可能であり、このような関数は有限のWeihrauch次数を持つことが示される。
• この枠組みにより、ナッシュ均衡の探索や線形不等式系の解法といった問題の不連続性の度合いを分析するための新しい証明技法が可能になる。