[論文レビュー] Infinite products in number theory and geometry

Jan Hendrik Bruinier|ArXiv.org|Apr 23, 2004

Analytic Number Theory Research参考文献 57被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、(2,ℓ)型の正格子のモジュラー形式である特別な無限積であるボルツァース積を導入し、ヒルベルトモジュラー曲面への応用を示している。これらの積を用いることで、幾何的・算術的結果が得られ、特に算術的交差数やファルティングス高さの明示的公式が得られ、グリーン関数とゼータ関数の導関数を通じてモジュラー形式と算術幾何学が結びつけられる。

ABSTRACT

We give an introduction to the theory of Borcherds products and to some number theoretic and geometric applications. In particular, we discuss how the theory can be used to study the geometry of Hilbert modular surfaces.

研究の動機と目的

• ボルツァース積の理論を発展・応用し、ヒルベルトモジュラー曲面の幾何を研究すること。
• 無限積を持つモジュラー形式と算術的曲面上の算術的交差理論との間の関係を確立すること。
• ボルツァース積とグリーン関数を用いて算術的交差数とファルティングス高さを計算すること。
• クラマー、クドラ、マヨ・ロエッサーらの深い予想に対する証拠を提供すること。
• 特異点が制御された算術的曲面へのモジュラー曲線およびレベル構造に関する結果を一般化すること。

提案手法

• 指定された零点・極を持つモジュラー形式としてのボルツァース積を、無限積展開を用いて構成する。
• 重み −1/2 の弱ホロモーフィックモジュラー形式の理論を応用し、分配函数とイーゼンスタイン級数を関連付ける。
• グリーン関数およびそのスター積を用いて、算術的交差数におけるアーキメデス的寄与を計算する。
• 射影公式とモジュラー曲線 X₀(p) からヒルツェブルーフ＝ザイジャー除集合への双有理写像を用いて、有限位の寄与を削減する。
• 算術的多様体の算術的体積の公式を用い、幾何的交差数とゼータ関数の導関数を組み合わせる。
• 最小正則モデルおよびレベル構造（例えば、全レベル N）に理論を適用し、Z[ζ_N, 1/N] 上で定義された算術的交差数を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボルツァース積は、ヒルベルトモジュラー曲面上の算術的交差数をどのように計算できるか？
• RQ2 モジュラー形式の文脈において、除集合の幾何的交差と算術的交差数の関係は何か？
• RQ3 グリーン関数およびその積分は、アーキメデス的位における算術的交差数の計算にどのように寄与するか？
• RQ4 ボルツァース積は、ゼータ関数の導関数およびL関数の特別値に関する予想をどのように裏付けるか？
• RQ5 レベル構造は、特異点を解消し、グローバル体上での算術的交差数を定義するためにどのように利用できるか？

主な発見

• ヒルベルトモジュラー曲面の最小正則モデルにおける線分束 M_k^3 の算術的自己交差数は、有限位とアーキメデス的寄与の組み合わせによって計算される。
• アーキメデス的寄与はグリーン関数の積分として表され、ζ′(−1)/ζ(−1) と一般化された除集合和 σ_m(−1) を含む和に簡約される。
• ヒルツェブルーフ＝ザイジャー除集合 T(m) のファルティングス高さは、k²、T(m) の体積、および σ_m(s) の s = −1 における対数微分を含む公式で与えられる。
• 幾何的交差 A(τ)·c₁(M_k(C)) が算術的交差  Â(τ)·ĉ₁(ℳ_k)² に比例することを示し、幾何的・算術的不変量の深い関係を示唆する。
• 有限位とアーキメデス的寄与が正確に一致し、p 上のファイバーの寄与を除いて完全な公式が得られる。この寄与は、ボルツァース積を変化させることで解消可能である。
• 全レベル N 構造の使用により、算術的交差数が R_N = R / ⟨∑_{p|N} Q·log p⟩ 内の実ベクトル空間で定義可能となり、非自明な自己同型を持つモジュライ問題が解消される。