[論文レビュー] Infinite products with strongly $B$-multiplicative exponents

Jean‐Paul Allouche, Jonathan Sondow|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2007

Analytic Number Theory Research参考文献 12被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、Woods-Robbinsの無限積恒等式 $ P = 1/\sqrt{2} $ を、任意の整数基数 $ B > 1 $ に一般化する。これは、基数 $ B $ 展開における桁数に基づく強 $ B $-乗法的指数を用いる。偶数添え字と奇数添え字に積を分割するという新しい代数的テクニックを導入し、$ (-1)^{N_{k,B}(n)} $、$ \mathrm{sin} $、$ \mathrm{cos} $ 関数の桁和に関する無限積を評価する。その結果、$ \prod_{n\geq 0} \left( \frac{Bn+k}{Bn+k+1} \right)^{(-1)^{N_{k,B}(n)}} = \frac{1}{\sqrt{B}} $ などの閉形式を得る。

ABSTRACT

Let $N_{1,B}(n)$ denote the number of ones in the $B$-ary expansion of an integer $n$. Woods introduced the infinite product $P :=\prod_{n \geq 0} (\frac{2n+1}{2n+2})^{(-1)^{N_{1,2}(n)}}$ and Robbins proved that $P = 1/\sqrt{2}$. Related products were studied by several authors. We show that a trick for proving that $P^2 = 1/2$ (knowing that $P$ converges) can be extended to evaluating new products with (generalized) strongly $B$-multiplicative exponents. A simple example is $$ \prod_{n \geq 0} (\frac{Bn+1}{Bn+2})^{(-1)^{N_{1,B}(n)}} = \frac{1}{\sqrt B}. $$

研究の動機と目的

• 基数 $ B > 1 $ の任意の整数基数に、Woods-Robbins 恒等式 $ P = 1/\sqrt{2} $ を桁に基づく指数を用いて一般化すること。
• 強 $ B $-乗法的列から導かれる指数を有する無限積を評価するための体系的な手法を開発すること。
• $ P = 1/\sqrt{2} $ の証明に用いられる添え字の分割技術を、より高い基数およびより複雑な指数関数（桁和や三角関数に基づくもの）に拡張すること。
• 基数 $ B $ における桁和の $ (-1)^{N_{k,B}(n)} $、$ \sin $、$ \cos $ 関数を含む無限積の閉形式評価を確立すること。

提案手法

• 強 $ B $-乗法的列の関数方程式 $ u(Bn + k) = u(n)u(k) $ を活用し、$ P = 1/\sqrt{2} $ を証明する際に用いられる添え字分割テクニックを基数 $ B $ 展開に適応する。
• 基数 $ B $ 展開における数字 $ k $ の出現回数を数える関数 $ N_{k,B}(n) $ を用い、無限積の指数として採用する。
• 恒等式 $ (-1)^{N_{k,B}(n)} = \prod_{j} (-1)^{e_j(n)} $（$ e_j(n) $ は基数 $ B $ の桁）を用いて、指数を桁ごとの乗法的関数に還元する。
• 周期的挙動を示す一般化された指数を定義するため、$ \sin(\pi k / q) \sin(\pi(2s_B(n) + k)/q) $ および $ \cos $ 項を含む三角関数恒等式を適用する。
• 桁和 $ s_B(n) $ 及びその偶奇性の性質を活用し、積の収束性と閉形式評価を導出する。
• 既知のガンマ関数およびワイエルシュトラス積の結果と代数的変形を組み合わせ、特に奇数 $ B $ の場合に結果を検証・一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Woods-Robbins 無限積恒等式 $ \prod_{n \geq 0} \left( \frac{2n+1}{2n+2} \right)^{(-1)^{N_{1,2}(n)}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $ は、任意の整数基数 $ B > 1 $ に一般化可能か？
• RQ2 基数 $ B $ 展開における数字 $ k $ の出現回数 $ N_{k,B}(n) $ を指数とする場合、どのような無限積恒等式が得られるか？
• RQ3 $ P = 1/\sqrt{2} $ の証明に用いられる添え字分割技術は、桁和や三角関数に基づくより複雑な周期的指数を持つ積へどのように拡張可能か？
• RQ4 指数 $ f(n) $ が強 $ B $-乗法的関数であるとき、$ \prod_{n \geq 0} \left( \frac{Bn+k}{Bn+k+1} \right)^{f(n)} $ が $ 1/\sqrt{B} $ または $ 1 $ に収束する条件は何か？
• RQ5 桁和の $ \sin $ および $ \cos $ 関数を含む結果は、閉形式を持つ新しい無限積恒等式を導出するために利用可能か？

主な発見

• 任意の整数 $ B > 1 $ および $ k = 1, \dots, B-1 $ に対して、$ \prod_{n \geq 0} \left( \frac{Bn+k}{Bn+k+1} \right)^{(-1)^{N_{k,B}(n)}} = \frac{1}{\sqrt{B}} $ が成り立つ。これは Woods-Robbins 恒等式の一般化である。
• 整数 $ B > 1 $、$ q > 1 $、$ 0 < p < q $ に対して、$ \prod_{n \geq 0} \left( \frac{Bn+k}{Bn+k+1} \right)^{\sin(\pi k / q) \sin(\pi(2s_B(n) + k)/q)} = \frac{1}{\sqrt{B}} $ が成り立ち、余弦項に対しても同様の恒等式が $ 1 $ を与える。
• 基数 $ B $ が奇数の場合、$ \prod_{n \geq 0} \left( \frac{Bn+k}{Bn+k+1} \right)^{(-1)^n} = \frac{1}{\sqrt{B}} $ が奇数 $ k $ に対して成り立ち、これはガンマ関数のワイエルシュトラス積による検証がなされている。
• 恒等式 $ \prod_{n \geq 1} \left( \frac{2n}{2n+1} \right)^{(-1)^{N_{1,2}(n)}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $ は、$ B = 2 $、$ k = 1 $ の場合の一般化公式の特別なケースとして回復される。
• $ B = 3 $、$ q = 3 $、$ p = 1 $ の場合、$ \prod_{n \geq \delta_k} \left( \frac{3n+k}{3n+k+1} \right)^{\eta(N_{k,3}(n))} = \frac{1}{3^{2/3}} $ が成り立ち、$ \eta(n) $ は mod 3 に基づくトゥエ＝モルス型関数である。
• この手法により、奇数 $ B $ の偶数・奇数 $ k $-積を組み合わせることで $ \pi $ のウォリス型積が得られ、ガンマ関数の恒等式の代数的変形により既知の恒等式が回復される。