[論文レビュー] Infinite symmetric group and bordisms of pseudomanifolds

Alexander A. Gaifullin, Yury A. Neretin|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$(n+1)$ 個の無限対称群 $S(\infty)$ の直積のユニタリ表現と、$(n-1)$ 次元の色付き擬多様体の bordism 圏からヒルベルト空間への関手の間の対応を確立する。Fock型ヒルベルト空間上の球関数を用いて関手的表現を構成し、関連する球関数が擬多様体上の基底配置に関して組合せ論的公式をもつことを示す。これにより、無限群表現論とbordism 圏を通じた幾何トポロジーが結びつけられる。

ABSTRACT

We consider a category whose morphisms are bordisms of $n$-dimensional pseudomanifolds equipped with a certain additional structure (coloring). On the other hand, we consider the product $G$ of $(n+1)$ copies of infinite symmetric group. We show that unitary representations of $G$ produce functors from the category of $(n-1)$-dimensional bordisms to the category of Hilbert spaces and bounded linear operators.

研究の動機と目的

• 群 $G = S(\infty)^{n+1}$ のユニタリ表現と $n$ 次元の色付き擬多様体のbordismの間の関手的対応を確立すること。
• 部屋の符号と面の色分けを符号化する色構造を備えた $(n-1)$ 次元bordismの圏を定義すること。
• 固定された真空ベクトル $\xi$ を持つヒルベルト空間のテンソル積から構成されたFock型ヒルベルト空間 $\mathfrak{V}$ 上に、$G$ のユニタリ表現 $\nu$ を構成し、この空間上での球関数を定義すること。
• 球関数 $\Phi(g) = \langle \nu(g)\mathfrak{v}, \mathfrak{v} \rangle$ が、擬多様体の部屋における基底要素の割り当てに関して組合せ論的表現をもつことを示すこと。
• ヒルベルト空間への有界かつ対合と両立する関手が、すべて $G = S(\infty)^{n+1}$ のユニタリ表現から生じることを示すこと。

提案手法

• 各擬多様体が部屋の符号と $n+1$ 種類の異なる色を用いた頂点・面の色分けを備えた、$(n-1)$ 次元のbordismの圏 $\mathcal{K}$ を定義する。
• 各因子がFock空間 $\mathfrak{V} = \bigotimes_{\mathbb{N}} (\mathcal{V}, \xi)$ のテンソル因子を置換するように作用する、$\mathbb{G} = S(\infty)^{n+1}$ を構成する。ここで $\mathcal{V} = \bigotimes_{i=1}^{n+1} V_i$ であり、$\xi \in \mathcal{V}$ は固定された単位ベクトルである。
• 各 $S(\infty)$ のコピーが対応する因子 $V_i$ 上に作用するように、$\mathbb{G}$ の表現 $\nu$ を $\mathfrak{V}$ 上に定義する。また、対角線の部分群 $\mathbb{K} = \overline{S(\infty)}$ は $\mathfrak{V}$ のテンソル因子を置換するように作用する。
• 各二重コセット $\mathfrak{g} \in \mathbb{K}(\alpha) \setminus \mathbb{G} / \mathbb{K}(\beta)$ に対して、$\overline{\rho}(\mathfrak{g}) = P_\alpha \rho(g)|_{H_\beta}$ を定義する。ここで $H_\alpha$ は $\mathbb{K}(\alpha)$ の固定ベクトルからなる空間である。
• $\overline{\rho}(\mathfrak{g})$ が代表元 $g \in \mathfrak{g}$ の選び方に依存せず、演算子の合成が二重コセットの合成に対応することを証明する。
• 球関数 $\Phi(g) = \langle \nu(g)\mathfrak{v}, \mathfrak{v} \rangle$ の明示的公式を導出する。この公式は、$(n-1)$ 次元面への正規直交基底要素のすべての割り当てに関する和であり、プラス部屋では構造定数 $x_{ijk\dots}$ の積、マイナス部屋ではその複素共役の積を寄与とすることを含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして $S(\infty)^{n+1}$ のユニタリ表現を用いて、色付き擬多様体のbordism圏からヒルベルト空間への関手を構成できるか？
• RQ2 このような表現に関連する球関数 $\Phi(g)$ の幾何的解釈は何か？
• RQ3 ヒルベルト空間への有界かつ対合と両立する関手が、すべて $S(\infty)^{n+1}$ のユニタリ表現から生じるのか？
• RQ4 擬多様体上の色分け構造——部屋に符号を割り当て、頂点と面に色を割り当てる——は、群作用の表現論的データをどのように符号化するか？
• RQ5 基底要素の割り当てに関して、行列係数 $\langle \nu(g)\mathfrak{v}, \mathfrak{v} \rangle$ の明示的組合せ論的公式は何か？

主な発見

• 表現 $\nu$ の球関数 $\Phi(g)$ は、擬多様体 $\Sigma$ の $(n-1)$ 次元面への正規直交基底ベクトルのすべての割り当てに関する和で与えられる。各部屋は、プラス部屋では構造定数 $x_{ijk\dots}$ の積、マイナス部屋ではその複素共役の積を寄与とし、寄与を寄せる。
• 二重コセット $\mathfrak{g} \in \mathbb{K}(\alpha) \setminus \mathbb{G} / \mathbb{K}(\beta)$ を通じて定義された表現 $\overline{\rho}$ は適切に定義されており、合成を尊重する。したがって、bordism 圏からヒルベルト空間への関手をなす。
• bordism 圏からヒルベルト空間への任意の有界かつ対合と両立する関手 $\pi$ は、ある $\mathbb{G} = S(\infty)^{n+1}$ のユニタリ表現 $\rho$ に対応する $\overline{\rho}$ と同値であり、完全な同値関係が確立される。
• 構成された $\mathbb{G}$ の表現 $\nu$ は、$S(\infty)$ の個々の因子の表現のテンソル積ではない。これは $S(\infty)$ が型 I でないためであり、群構造と表現論の間の非自明な相互作用を示している。
• Fock空間 $\mathfrak{V}$ は、固定された真空ベクトル $\xi$ を持つ $\mathcal{V} = \bigotimes_{i=1}^{n+1} V_i$ の無限個のテンソル積として構成され、真空ベクトル $\mathfrak{v} = \xi \otimes \xi \otimes \cdots$ は $\mathbb{K}$ の対角作用にに関して不変である。
• $\Phi(g)$ の公式は、色分けと部屋の符号構造が保たれる限り、面への基底割り当ての選び方に依存せず、幾何的整合性が保証される。