[論文レビュー] Infinite Synchronizing Words for Probabilistic Automata (Erratum)

Laurent Doyen, Thierry Massart+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2012

semigroups and automata theory参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、確率的オートマトンにおける弱い同期言語の空問題が、確率的オートマトンの値1問題への還元を用いて、決定不能であることを証明することで、以前の決定可能性の主張を是正している。この結果は、無限語上の確率的オートマトンの同期解析における根本的な決定不能性を確立する。

ABSTRACT

In [1], we introduced the weakly synchronizing languages for probabilistic automata. In this report, we show that the emptiness problem of weakly synchronizing languages for probabilistic automata is undecidable. This implies that the decidability result of [1-3] for the emptiness problem of weakly synchronizing language is incorrect.

研究の動機と目的

• 確率的オートマトンの弱い同期言語に関する先行研究における誤った決定可能性の主張を是正すること。
• 確率的オートマトンにおける弱い同期言語の空問題の決定不能性を確立すること。
• 確率的オートマトンの値1問題が、弱い同期言語の空問題に還元可能であることを示すこと。
• 無限語上での確率的システムの同期解析の理論的限界を明確にすること。

提案手法

• 与えられた確率的オートマトン B から、B が値1であるための必要十分条件として、A が値1であるような確率的オートマトン A を構築する。
• A をもとに、二重状態と特別な記号 # を用いて周期的リセットをシミュレートする新しい確率的オートマトン C を導入する。
• 状態分布のノルムの極限上界（limsup）を用いて弱い同期を定義し、ノルムは任意の状態の最大確率を測定する。
• C の構造を用いて、弱い同期が発生するのは、元のオートマトン A が任意に高い受容確率に達できる場合に限ることを保証する。
• C の任意の弱い同期語は、無限個の # および $ 記号を含む必要があり、初期分布への周期的リセットを強制する。
• C における弱い同期は、A において受容確率が1に限りなく近い語が存在することを示す。すなわち、A が値1をとることを意味する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的オートマトンにおける弱い同期言語の空問題は決定可能か？
• RQ2 確率的オートマトンの値1問題は、弱い同期言語の空問題に還元可能か？
• RQ3 弱い同期無限語を許容するためには、確率的オートマトンが満たすべき構造的性質は何か？
• RQ4 語に無限個の # および $ 記号が存在する場合、構築されたオートマトン C において弱い同期が保証されるか？
• RQ5 弱い同期を用いて、確率的オートマトンにおける値1問題を特徴づけられるか？

主な発見

• 確率的オートマトンにおける弱い同期言語の空問題は決定不能である。
• 決定不能性は、決定不能な確率的オートマトンの値1問題への多対一還元を用いて確立された。
• 弱い同期言語が非空であるための必要十分条件として、元のオートマトン A が値1であるような確率的オートマトン C が構築された。
• C の弱い同期語は、無限個の # および $ 記号を含む必要があり、初期分布への周期的リセットを保証する。
• C において弱い同期が成立する語では、状態分布のノルムが1に近づく。これは、A における受容確率が1に限りなく近づくことを示唆する。
• この結果は、確率的オートマトンにおける弱い同期言語の空問題の決定可能性に関する以前の主張を無効にした。