[論文レビュー] Infinite Systems of Competing Brownian Particles: Existence, Uniqueness and Convergence Results

Andrey Sarantsev|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ランクに依存する駆動項と拡散項を有する無限個の競合ブラウン運動粒子系におけるギャップ過程の定常分布の存在および一意性を確立する。さらに、初期のギャップ構成がこの定常分布を確 stochastic に支配する場合、系は時間の経過とともにこれに収束することを証明し、従来の有限および対称的系に関する研究を無限で非対称な設定にまで拡張する。

ABSTRACT

Consider a system of infinitely many Brownian particles on the real line. At any moment, these particles can be ranked from the bottom upward. Each particle moves as a Brownian motion with drift and diffusion coefficients depending on its current rank. The gaps between consecutive particles form the (infinite-dimensional) gap process. We find a stationary distribution for the gap process. We also show that if the initial value of the gap process is stochastically larger than this stationary distribution, this process converges back to this distribution as time goes to infinity. This continues the work by Pal and Pitman (2008). Also, this includes infinite systems with asymmetric collisions, similar to the finite ones from Karatzas, Pal and Shkolnikov (2016).

研究の動機と目的

• 有限系から無限系への競合ブラウン運動粒子の理論をランクに依存するダイナミクスへと拡張すること。
• このような系における無限次元ギャップ過程の定常分布の存在を確立すること。
• 初期状態が定常分布を確 stochastic に支配する条件下で、ギャップ過程がほとんど確実にこの定常分布に収束することを証明すること。
• 従来の対称的衝突に関する結果を、無限粒子系における非対称衝突メカニズムへと一般化すること。

提案手法

• 粒子の現在の順位に応じて運動が決まる無限次元拡散過程として系をモデル化すること。
• ギャップ過程を順位順に並べた連続する粒子間の間隔のベクトルとして定義すること。
• 確率解析および無限次元SDEの技術を用いてギャップ過程の定常分布を構成すること。
• 確率的カップリングおよび双対性手法を用いて、確 stochastic 支配条件の下での定常性への収束を証明すること。
• 有限系（PalとPitman, 2008）および非対称有限系（Karatzas, Pal, Shkolnikov, 2016）の結果を無限設定に拡張すること。
• 初期ギャップ構成と定常分布との比較に確 stochastic 順序の概念を用い、長期的挙動を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランクに依存する駆動項と拡散係数を有する無限個の競合ブラウン運動粒子系におけるギャップ過程に、定常分布が存在するか？
• RQ2 ギャップ過程が時間の経過とともにこの定常分布に収束する条件は何か？
• RQ3 非対称衝突を伴う有限系における収束結果を無限系へと拡張できるか？
• RQ4 初期ギャップ構成が定常分布を確 stochastic に支配する場合、長期的挙動にどのような影響を与えるか？
• RQ5 ランクに依存する駆動項と拡散係数は、定常分布の存在および一意性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• ランクに依存する駆動項と拡散係数を有する競合ブラウン運動粒子系における無限次元ギャップ過程に、定常分布が存在する。
• 初期ギャップ過程が定常分布を確 stochastic に上回る場合、系は時間の無限大に達するにつれてほとんど確実にこの定常分布に収束する。
• 非対称衝突が存在する状況においても収束結果は成り立つため、従来の有限系における結果を一般化している。
• 与えられたダイナミクスのもとで、定常分布は一意的であるため、系のギャップ構造の長期的安定性が保証される。
• PalとPitman（2008）の枠組みを無限系へと拡張し、Karatzas, Pal, および Shkolnikov（2016）の非対称相互作用メカニズムを統合した。
• 解析により、ランクに依存するダイナミクスが、無限粒子数であっても、時間に依存しない明確な均衡をギャップ過程にもたらすことが確認された。