[論文レビュー] Infinite wedge and measures on partitions

Andreĭ Okounkov|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 1999

Advanced Combinatorial Mathematics被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、可積分系の技法を用いて、整数分割上のシュール測度の相関関数の正確な公式を確立し、それらがトーダ格子階層のタウ関数であることを示している。Bloch-Okounkovのn点関数の公式の新たな証明を提供するとともに、この枠組みを通じて典型的分割の局所的構造を明らかにしている。

ABSTRACT

Using techniques from integrable systems, we obtain a number of exact results for random partitions. In particular, we prove a simple formula for correlation functions of what we call the Schur measure on partitions (which is a far reaching generalization of the Plancherel measure, see math.CO/9905032) and also show that these correlations functions are tau-functions for the Toda lattice hierarchy. Also we give a new proof of the formula due to Bloch and the author, see alg-geom/9712009, for the so called n-point functions of the uniform measure on partitions and comment on the local structure of a typical partition.

研究の動機と目的

• 整数分割上のシュール測度の相関関数の正確な公式を導出すること。
• これらの相関関数がトーダ格子階層のタウ関数であることを示すこと。
• 分割上の均一測度におけるBloch-Okounkovのn点関数の公式を、新たなアプローチで再導出すること。
• 開発された枠組みを用いて、典型的分割の局所的構造を分析すること。

提案手法

• 特にトーダ格子階層に関連する技法を用いた可積分系の技術の適用。
• シュール測度を整数分割上のプランシュレ測度の一般化として定義すること。
• 母関数と頂点演算子形式を用いて相関関数を導出すること。
• 相関関数とトーダ階層のタウ関数との間の対応を確立すること。
• ボソン-フェルミオン対応を用いて、生成関数をフェルミオン的フォック空間の構成と関連付けること。
• 無限大ウィンディング表現を用いて、均一測度およびそのn点関数の構造を分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可積分系の手法を用いて、分割上のシュール測度の相関関数をどのように明示的に計算できるか？
• RQ2 これらの相関関数は、トーダ格子階層のような既知のソリトン方程式の階層と関係があるか？
• RQ3 分割上の均一測度におけるn点関数のBloch-Okounkovの公式を、新たなアプローチで再導出できるか？
• RQ4 シュール測度およびその相関関数を通じて、典型的分割の局所的構造はどのように特定されるか？

主な発見

• シュール測度の相関関数がトーダ格子階層のタウ関数であることが示され、確率的分割と可積分系との間に深い関係が確立された。
• 無限大ウィンディングと頂点演算子の枠組みを用いて、分割上の均一測度におけるn点関数のBloch-Okounkovの公式の新たな証明が提供された。
• シュール測度はプランシュレ測度を一般化しており、可積分系の技法を用いて相関関数を正確に計算可能である。
• 相関関数の漸近的挙動を通じて、典型的分割の局所的構造が特徴づけられ、ボディ部における普遍的特徴が明らかになった。