[論文レビュー] Infinite wedge and random partitions

Andreĭ Okounkov|ArXiv.org|Jul 20, 1999

Random Matrices and Applications参考文献 21被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、無限ウェッジ空間形式を用いて、確率的分割と可積分系の間に深い接続を確立する。シュール測度の相関関数に対して、閉じた contour 積分表現を持つカーネルを介して、正確な行列式型の公式を導出し、それが Toda 格子階層の偏微分方程式を満たすことを証明するとともに、q 差分方程式とシータ関数を用いた、一様測度の n 点関数に対する新しい概念的証明を提供する。

ABSTRACT

Using techniques from integrable systems, we obtain a number of exact results for random partitions. In particular, we prove a simple formula for correlation functions of what we call the Schur measure on partitions (which is a far reaching generalization of the Plancherel measure, see math.CO/9905032) and also show that these correlations functions are tau-functions for the Toda lattice hierarchy. Also we give a new proof of the formula due to Bloch and the author, see alg-geom/9712009, for the so called n-point functions of the uniform measure on partitions and comment on the local structure of a typical partition.

研究の動機と目的

• 無限ウェッジ空間形式を用いて、確率的分割と可積分系の自然な接続を確立すること。
• 分割上のシュール測度の相関関数に対する正確な行列式型公式を導出すること。
• シュール測度の相関関数が Toda 格子階層の偏微分方程式を満たすことを示すこと。
• 分割上の一様測度の n 点関数に対する、新しい概念的証明を提供すること。
• 一様測度およびシュール測度の下での大規模な確率的分割の局所的構造を調査すること。

提案手法

• フェルミオン的演算子の行列要素として相関関数を解釈するため、技術的枠組みとして無限ウェッジ空間を用いる。
• ヘイゼンベルグ代数および頂点演算子（Γ±）を適用し、ヤコビ＝トゥルディ恒等式を介してシュール関数を行列要素として表現する。
• シュール測度パラメータの母関数から、contour 積分表現を持つカーネル K を導出する。
• 相関関数がカーネル K を持つフレドホルム行列式として与えられることを確立し、漸近解析を可能にする。
• τ 関数の相関関数が満たす PDE を、無限ウェッジ空間におけるヒロタ双線形方程式および Toda 格子階層を用いて導出する。
• 一様測度の n 点関数に q 差分方程式を適用し、それを genus-1 シータ関数およびその導関数と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分割上のシュール測度の相関関数は、どのように行列式型カーネルで表現できるか？
• RQ2 シュール測度の相関関数が満たす可積分階層は何か？
• RQ3 分割上の一様測度の n 点関数は、シータ関数および q 差分方程式とどのように関係するか？
• RQ4 一様測度の下で、典型的な大規模な分割の局所的構造は何か？
• RQ5 この枠組みを用いて、z 測度およびプラナッセル測度の漸近的挙動を一般化できるか？

主な発見

• シュール測度の相関関数は、contour 積分表現を持つカーネル K の行列式として与えられ、正確な漸近的解析が可能である。
• カーネル K はシュール測度パラメータの母関数から導出され、ランダム行列理論における直交多項式法とは異なり、単純な積分形を有する。
• 相関関数は、無限ウェッジ空間におけるヒロタ双線形方程式を用いた解析により、Toda 格子階層のすべての偏微分方程式を満たすことが示された。
• 一様測度の n 点関数は、q 差分方程式を用いて導出された genus-1 シータ関数およびその導関数を含む行列式の和として表現される。
• 一様測度の下では、典型的な大規模な分割の局所的構造は、位置に依存するステップ確率を持つランダムウォークの軌道と一致するが、プラナッセルの場合とは対照的である。
• この枠組みは、既存のプラナッセルおよび z 測度に関する結果を一般化し、相関関数および漸近挙動のより単純で概念的な証明を提供する。