[論文レビュー] Infinite words without palindrome

Jean Berstel, Luc Boasson+2 more|ArXiv.org|Mar 13, 2009

History and Theory of Mathematics被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、4文字および2文字のアルファベット上で、反転について閉じているが、回文的要因を有限個しか含まない一様再帰的無限語を構成する。これは、反転について閉じていることから無限個の回文が存在すると一般に想定されるのと矛盾する。この構成は反転閉じた語列と反復的自己写像を用い、一様再帰性と反転閉じ性を保ちながら、回文的複雑度を有限に保つ。

ABSTRACT

We show that there exists an uniformly recurrent infinite word whose set of factors is closed under reversal and which has only finitely many palindromic factors.

研究の動機と目的

• 一様再帰的無限語が存在し、その要因集合が反転について閉じているが、回文的要因を有限個しか含まないことを示すこと。
• 反転閉じ性が無限語において無限個の回文を含むと一般に想定されるのを疑問視すること。
• 反復的自己写像と反転に基づく語の生成を用いて、4文字および2文字のアルファベット上に明示的な例を構成すること。
• 反転閉じ語列から導かれる自己写像語の回文的複雑度を分析すること。
• 一様再帰性と反転閉じ性が無限個の回文的要因を含むとは限らないことを確立すること。

提案手法

• 4文字アルファベット上で、x_0 = 01 および x_{n+1} = x_n 23 ilde{x}_n により定義される語列 (x_n) を定義し、その極限xを無限語とする。
• x_{p+n} を x_p のブロックと {23, 32} からの反転ペアに帰納的に分解することで、すべての要因が有界なギャップをもって出現することを示し、一様再帰性を証明する。
• x_n の因子 w に対して ilde{w} が x_{n+1} の因子であることを示すことで、要因の反転閉じ性を確立する。
• x が ((01+10)(23+32))^ω に属することを示し、a,b ∈ A に対して aa や aba の形の要因が存在しないことを証明することで、Pal(x) が有限（具体的には Pal(x) = A）であることを示す。
• 0→101, 1→1001, 2→10001, 3→100001 と定義される2文字の自己写像 h を用い、h は反転を保存し、y = h(x) が有限個の回文的要因を持つことを示す。
• z_0=01, z_{n+1}=z_n 01 ilde{z}_n により定義される z_n について、n≥3 のとき z_n に長さ13または14の回文が存在しないことを帰納法で証明し、Pal(z) に属するすべての w に対して |w|≤12 であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限語が一様再帰的かつ反転について閉じているが、回文的要因を有限個しか含まないことは可能か？
• RQ2 要因集合の反転閉じ性は、一様再帰的語において無限の回文的複雑度を含むと仮定されるが、これは正しいか？
• RQ3 どのような構成が、一様再帰的かつ反転について閉じており、回文的複雑度が有限である無限語を生じさせるか？
• RQ4 自己写像は、導かれる無限語において反転閉じ性と回文的有限性をどのように保つのか？
• RQ5 2文字の自己写像語 z の回文的要因の最大長さは何か？

主な発見

• アルファベット {0,1,2,3} 上の無限語 x は一様再帰的であり、その要因集合は反転について閉じているが、回文的要因はたった4つ（0, 1, 2, 3）しか含まない。
• h による x の自己写像画像 y = h(x) は一様再帰的かつ反転について閉じており、Pal(x) が有限であることと h が反転構造を保存することから、Pal(y) は有限である。
• z_n が定義する2文字の語 z（z_{n+1} = z_n 01 ilde{z}_n により定義）は、長さ13または14の回文的要因を含まず、したがってすべての回文的要因の長さは12以下である。
• g(0)=g(2)=0 および g(1)=g(3)=1 と定義される写像 g を用いて、z = g(x) であることが示され、回文的有限性が特定の圧縮自己写像のもとでも保存されることを示す。
• 本稿では4文字および2文字のアルファベット上に明示的な例を構成し、反転閉じ性と一様再帰性が無限の回文的複雑度を必要としないことを示している。
• t_0=0, t_{n+1}=t_n 0 ilde{t}_n により定義される折りたたみ語 t は反転について閉じていないが、f(0)=01, f(1)=10 と定義される f を用いて y = f(t) であることが示され、この構成が既知の折りたたみ系列と関連している。