[論文レビュー] Infinitely many non-radial sign-changing solutions for a Fractional Laplacian equation with critical nonlinearity

Fei Fang|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 17被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^N$（$N \geq 3$）における臨界非線形性を有する分数ラプラシアン方程式に対して、無限に多くの非回転的符号付き解の存在を確立する。対称的な点に中心を持つ複数のバブル型解に基づくグリューピング構成を用い、ライプニッツ＝シュミット還元とバナッハの不動点定理を適用することで、任意の十分大きな $k$ に対して、$u_k(x) = U(x) - \sum_{j=1}^k \mu_k^{-\frac{N-2s}{2}}U(\mu_k^{-1}(x - \xi_j)) + o(1)$ の形をした有限エネルギー解が存在することを証明する。ここで $\xi_j$ は $\mathbb{C} \times \mathbb{R}^{N-2}$ 内の正 $k$ 角形の頂点であり、$k \to \infty$ のとき $\mu_k \to 0$ である。主な貢献は、この臨界的分数問題に対して、無限に多くの非回転的符号付き解が初めて証明されたことである。

ABSTRACT

In this work, the following fractional Laplacian problem with pure critical nonlinearity is considered \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} (-Δ)^{s} u=|u|^{\frac{4s}{N-2s}}u, &\mbox{in}\ \mathbb{R}^N, \\ u\in \mathcal{D}^{s,2}(\mathbb{R}^N), \end{array} ight. \end{equation*} where $s\in (0,1)$, $N$ is a positive integer with $N\geq 3$, $(-Δ)^{s}$ is the fractional Laplacian operator. We will prove that this problem has infinitely many non-radial sign-changing solutions.

研究の動機と目的

• 分数ラプラシアン方程式の純粋な臨界非線形性を有する $\mathbb{R}^N$（$N \geq 3$）において、無限に多くの非回転的符号付き解の存在を確立すること。
• 文献における符号付き解に関する臨界的分数方程式の研究におけるギャップを埋めるために、回転対称性を超えた解の構成を拡張すること。
• 古典的ヤマベ問題の手法を分数設定に一般化し、解の対称的配置を用いること。
• ライプニッツ＝シュミット還元と収縮写像の議論を用いて、所定の対称性と符号の変化を有する解の存在を厳密に証明すること。

提案手法

• 正 $k$ 角形をなす点 $\xi_j$ に中心を持つ $k$ 個の対称的配置のバブル解 $U_{x_j,\Lambda}$ の重ね合わせとして近似解 $u_k$ を構成する。
• 基底解 $U$ のケルビン変換不変性を用い、バブルプロファイルが極限方程式 $(-\Delta)^s U = |U|^{\frac{4s}{N-2s}}U$ の解であることを保証する。
• 偏微分方程式を有限次元問題に還元するため、ライプニッツ＝シュミット還元を適用し、解を局所的成分 $\tilde{\phi}_j$ と剰余項 $\psi$ に分解する。
• 切断関数を導入して問題を局所化し、バブル間の相互作用を制御し、誤差項が重み付きノルムで小さくなるようにする。
• 重み付きノルム $\|\cdot\|_*$ 及びその双対 $\|\cdot\|_{**}$ を用いて非線形誤差項を推定し、バナッハの不動点定理を適用する。
• 十分大きな $k$ に対して、重み付き関数空間内の小さな球内での収縮写像により、一意な補正 $\phi$ の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界非線形性を有する分数ラプラシアン方程式に対して、$\mathbb{R}^N$ において無限に多くの非回転的符号付き解を構成可能か？
• RQ2 複数のバブル解の対称的グリューピングは、符号の変化と非回転的構造を持つ解をもたらすか？
• RQ3 ライプニッツ＝シュミット還元法は、非局所的分数設定に適応可能であり、このような解の存在を証明できるか？
• RQ4 バブル数 $k \to \infty$ のとき、解のプロファイルの漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ5 重み付きノルム枠組みにおいて、解の構造は小さな摂動に対して安定か？

主な発見

• 方程式 $(-\Delta)^s u = |u|^{\frac{4s}{N-2s}}u$ は $\mathbb{R}^N$（$N \geq 3$）において無限に多くの非回転的符号付き解を有する。
• 十分大きな任意の $k$ に対して、$u_k(x) = U(x) - \sum_{j=1}^k \mu_k^{-\frac{N-2s}{2}}U(\mu_k^{-1}(x - \xi_j)) + o(1)$ の形の解 $u_k$ が存在する。ここで $\mu_k = \delta_k^{\frac{2}{N-2s}}k^{-3}$ であり、$\xi_j$ は正 $k$ 角形の頂点である。
• 誤差項 $o(1)$ は $k \to \infty$ のとき一様にゼロに収束するため、解が $k$ 個のバブルの重ね合わせによってよく近似されることを保証する。
• 解 $u_k$ は各点 $\xi_j$ の周囲の領域で符号を変化させることから、解の非回転的かつ符号付きの性質が確認される。
• 重み付き空間 $X$ 内での収縮写像の議論により、近似解に対する一意な補正 $\phi$ の存在が保証され、構成法の妥当性が裏付けられる。
• 本手法により、臨界指数 $p = \frac{4s}{N-2s}$ が、対称的で非回転的かつ符号付きの解を許容することを確認し、局所的状況からの結果を分数設定へ拡張した。