[論文レビュー] Infinitely many not locally soluble $SI^*$-groups

Vahagn H. Mikaelian|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2012

Finite Group Theory Research参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特別に選ばれた自由冪零群を用いた wreath 群を介して、可算な $SI^*$-群を2生成元の $SI^*$-群に埋め込む verbal embedding 技法を用いて、互いに同型でない、局所可解でない $SI^*$-群の連続体の連続体を構成する。主な貢献は、このような群が生成する多様体の集合の濃度が連続体と等しく、全群多様体の数と一致することを証明することにある。

ABSTRACT

The class of those (torsion-free) $SI^*$-groups which are not locally soluble, has the cardinality of the continuum. Moreover, these groups are not only pairwise non-isomorphic, but also they generate pairwise different varieties of groups. Thus, the set of varieties generated by not locally soluble $SI^*$-groups is of the same cardinality as the set of all varieties of groups. It is possible to localize a variety of groups which contains all groups and varieties constructed. The examples constructed here continue the well known example of a not locally soluble $SI^*$-group built by Hall and by Kovács and Neumann.

研究の動機と目的

• 非可算個の局所可解でない $SI^*$-群の存在を示すこと。
• それらの群が互いに同型でなく、それぞれ異なる群多様体を生成することを示すこと。
• 1つの局所可解でない $SI^*$-群の古典的 Hall-Kovács-Neumann の構成を、豊かな構造的多様性を持つこのような群の族に拡張すること。
• これらの群が生成する多様体を局所化でき、すべての構築済み例を含むことの確立。
• この方法が、$SI$-群や $SN$-群などの他の一般化可解群のクラスへ応用可能かどうかの探求。

提案手法

• Mikaelian (2002) の verbal embedding の構成を用い、可算な $SI^*$-群 $G$ を自由冪零群 $S$ を用いた wreath 群を介して2生成元の $SI^*$-群 $H=H(G,V)$ に埋め込む。
• $S$ を選んで、その verbal 部分群 $V(S)$ が非自明で、かつ $S$ がその多様体を判別するようにし、埋め込みが $SI^*$-構造を保存することを保証する。
• Ol’shanskii が $\mathfrak{G}_5 \cap \mathfrak{B}_{8qr}$ に連続体個の部分多様体を構成した方法を用いて、非可算個の異なる $SI^*$-群を生成する。
• パrameter が連続体個のインデックスを持つ群の族に埋め込みプロセスを適用し、同型でないことと、異なる多様体を生成することを保証する。
• 初期の群 $G$ と自由冪零群 $S$ からの線形順序を、得られる wreath 群構造へと持ち上げ、最終的な $SI^*$-群の線形順序化を可能にする。
• 構成において、wreath 群の部分群（全積群ではない）のみが使われることを活かし、線形順序化の可能性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可算個の互いに同型でない、局所可解でない $SI^*$-群を構成できるか？
• RQ2 それらの群は互いに異なる群多様体を生成するか？
• RQ3 局所可解でない $SI^*$-群が生成する多様体の集合は、すべての群多様体の集合と同程度の大きさか？
• RQ4 verbal embedding 法は、他の一般化可解群のクラス（例：$SI$-群や $SN$-群）への例の構成に適応可能か？
• RQ5 このような $SI^*$-群は線形順序付け可能か？ もし可能なら、その順序は構成過程でどのように保たれるか？

主な発見

• 局所可解でない $SI^*$-群のクラスは連続体の濃度を持つ。
• 構築された $SI^*$-群は互いに同型ではなく、それぞれ異なる群多様体を生成する。
• 局所可解でない $SI^*$-群が生成する多様体の集合の濃度は、すべての群多様体の集合の濃度と等しい。
• すべての構築済み群を含む多様体を局所化できる。
• Hall-Kovács-Neumann の例を、1つではなく連続体個のこのような群を生成する一般化に拡張した。
• 構築された群は線形順序付け可能であり、この方法の適用範囲を順序群論へと拡張した。