[論文レビュー] Infinitely many odd zeta values are irrational. By elementary means

Johannes Sprang|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2018

Advanced Mathematical Identities被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、超幾何級数の高次ねじれと、Hurwitzゼータ値における整数線形形式を用いて、無限に多くの奇数のゼータ値が無理数であることを初等的に証明する。奇数のゼータ値の非ゼロ整数係数線形結合の列を構成し、それがゼロに収束することにより、すべての値が有理数であることは不可能であることを示し、Stirlingの公式と素数定理のみを用いて、無限に多くの奇数のゼータ値が無理数であることを確立する。

ABSTRACT

In this small note, we provide an elementary proof of the fact that infinitely many odd zeta values are irrational. For the first time, this celebrated theorem been proven by Rivoal and Ball--Rivoal. The original proof uses highly non-elementary methods like the saddle-point method and Nesterenko's linear independence criterion. Recently, Zudilin has re-proven a slightly weaker form of his important result that at least one of the odd zeta values $ζ(5),ζ(7),ζ(9)$ and $ζ(11)$ is irrational, by elementary means. His new main ingredient are certain 'twists by half' of hypergeometric series. Generalizing this to 'higher twists' allows us to give a purely elementary proof of the result of Rivoal and Ball--Rivoal.

研究の動機と目的

• 鞍点法やNesterenkoの基準といった高度な道具を用いずに、無限に多くの奇数のゼータ値が無理数であることを初等的に証明すること。
• 元来ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) のうち少なくとも1つが無理数であることを示すZudilinの初等的手法を一般化し、『超幾何級数の高次ねじれ』を導入すること。
• Hurwitzゼータ関数の性質とlcmの成長を利用し、奇数のゼータ値における整数線形形式を構成し、それがゼロに収束することを示すこと。
• ねじれ超幾何積分から得られる係数行列を用いた線形代数的手法により、任意の有限個の奇数のゼータ値を除外すること。
• 任意のm ≥ 0に対して、Nₘ > m となる整数Nₘが存在し、{ζ(2m+1), ζ(2m+3), ..., ζ(2Nₘ+1)} の任意の部分集合で、Nₘ − m 個の要素を含むものには少なくとも1つの無理数が含まれることを示すこと。

提案手法

• 整数D > 1による特定の超幾何級数の『高次ねじれ』を導入し、Hurwitzゼータ値ζ(i, j/D)における線形形式を生成すること。
• 恒等式(D^i − 1)ζ(i) = ∑_{j=1}^{D−1} ζ(i, j/D) を用いて、Hurwitz値と古典的ゼータ値を関連づけ、不要な項を消去すること。
• ねじれ超幾何積分の線形結合r̂ₙ^(D,d) を構成し、dₙ^s でスケーリングすることで、整数係数の奇数のゼータ値における有理数線形形式が得られることを示すこと。
• Stirlingの公式と漸近的性質√[n]{lcm(1,...,n)} → e を用いて、n → ∞ のときdₙ^s · r̂ₙ^(D,d) → 0 であることを証明すること。
• 行列(2^{i_α·β} − 1) の正則性を用い、構成された形式の線形結合により、任意の有限個の奇数のゼータ値を除外すること。
• 背理法を用いる：すべてのゼータ値が有理数ならば、それらの分母の最小公倍数から得られる非ゼロ整数列がゼロに収束することになるが、これは矛盾である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超越論や特殊関数に依存せずに、無限に多くの奇数のゼータ値が無理数であることを初等的手段で証明できるか？
• RQ2 Zudilinのζ(5), ..., ζ(25)に対する初等的アプローチを、無限に多くの奇数のゼータ値が無理数であることを示す一般化に拡張できるか？
• RQ3 超幾何級数の高次ねじれは、制御された有理数係数を持つ奇数のゼータ値における収束する整数線形形式を構成可能か？
• RQ4 ねじれ超幾何積分から得られる係数行列を用いた線形代数的手法により、任意の有限部分集合の奇数のゼータ値を除外できるか？
• RQ5 lcm(1,...,n) の初等的漸近的性質とStirlingの公式のみを用いて、スケーリングされた線形形式のゼロへの収束を確立できるか？

主な発見

• 任意のm ≥ 0に対して、整数Nₘ > m が存在し、{ζ(3), ζ(5), ..., ζ(2Nₘ+1)} の任意の部分集合で、Nₘ − m 個の要素を含むものには少なくとも1つの無理数が含まれる。
• 非ゼロ整数係数線形結合の列が奇数のゼータ値に対して構成され、それがゼロに収束することにより、すべての値が有理数であることは不可能であることが示された。
• D = 2^{m+1} を選ぶことで、係数行列(2^{i_α·β} − 1) が整数上での正則性を満たし、任意のm+1個の奇数のゼータ値を除外可能であることが保証された。
• dₙ^s · r̂ₙ^(D,d) のゼロへの収束は、漸近的性質√[n]{lcm(1,...,n)} → e とStirlingの公式を用いて確立された。
• 主な結果は、Nesterenkoの基準や鞍点法に依存せずに、無限に多くの奇数のゼータ値が無理数であることが初等的に証明されたことである。
• 証明は原理的に構成的である：任意の有限個の奇数のゼータ値に対して、整数係数の線形結合がゼロに収束するように構成可能であり、少なくとも1つの値が無理数である場合を除いてはそうなる。