[論文レビュー] Infinitely many sign-changing and semi-nodal solutions for a nonlinear Schrodinger system

Zhijie Chen, Chang‐Shou Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2012

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 12被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、有界または非有界領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ ($N=2,3$) における負の結合定数 $\beta < 0$ を持つ非線形シュレーディンガー系に対して、無限に多くの符号変化型および準ノード解の存在を確立する。著者らは、新たな二制約変分問題を導入し、不変集合を用いた臨界点理論を適用することで、無限に多くの回転対称な符号変化型解および無限に多くの準ノード解の存在を証明した。ここで、一つの成分は符号を変化させ、もう一方は正のままである。主な貢献は、従来の手法に起因する制限を克服する新しい変分枠組みの構築にある。

ABSTRACT

We study the following coupled Schrödinger equations which have appeared as several models from mathematical physics: {displaymath} {cases}-Δu_1 +\la_1 u_1 = μ_1 u_1^3+βu_1 u_2^2, \quad x\in Ω, -Δu_2 +\la_2 u_2 =μ_2 u_2^3+βu_1^2 u_2, \quad x\in \Om, u_1=u_2=0 \,\,\,\hbox{on \,$\partial\Om$}.{cases}{displaymath} Here $\Om$ is a smooth bounded domain in $\R^N (N=2, 3)$ or $\Om=\RN$, $\la_1,\, \la_2$, $μ_1,\,μ_2$ are all positive constants and the coupling constant $\bb&lt;0$. We show that this system has infinitely many sign-changing solutions. We also obtain infinitely many semi-nodal solutions in the following sense: one component changes sign and the other one is positive. The crucial idea of our proof, which has never been used for this system before, is turning to study a new problem with two constraints. Finally, when $\Om$ is a bounded domain, we show that this system has a least energy sign-changing solution, both two components of which have exactly two nodal domains, and we also study the asymptotic behavior of solutions as $β o -\infty$ and phase separation is expected.

研究の動機と目的

• 結合定数 $\beta < 0$ を持つ結合非線形シュレーディンガー系に対して、無限に多くの符号変化型解の存在を確立すること。
• 反発的相互作用領域（$\beta < 0$）における符号変化型解の存在結果の不足を、新しい変分的アプローチで解決すること。
• 有界領域において、各成分が正確に二つのノード領域を持つエネルギー最小の符号変化型解の存在を証明すること。
• $\beta \to -\infty$ の漸近的挙動を分析し、相分離が予想される状況を解明すること。

提案手法

• 解のノード構造を捉えるために、二つの制約を課えた新たな変分問題を導入すること。
• ノード性質に関する制約を課した、$H_0^1(\Omega) \times H_0^1(\Omega)$ 上で定義された汎関数 $E_\beta$ の臨界点理論を用いること。
• 不変集合理論と擬勾配流れ $\eta(t, \vec{u})$ を用いた変形論的議論を適用し、解を構成すること。
• ジャンル理論と $\mathbb{Z}_2$-作用を用いて対称解を構成し、ノード領域を制御すること。
• 新たな汎関数 $J_\beta$ を定義し、リンク構造を用いて符号変化型解および準ノード解に対応する臨界点を特定すること。
• ティーツェの拡張定理と対称的構成を用いて、所望のノードパターンを持つ解の存在を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合定数 $\beta < 0$ を持つ非線形シュレーディンガー系は、有界または非有界領域において無限に多くの符号変化型解を有するか？
• RQ2 系は、一方の成分が正で、もう一方が符号を変化させるような無限に多くの準ノード解を支持するか？
• RQ3 有界領域において、エネルギー最小の符号変化型解の構造はどのようなものか。特に、ノード領域の数に関しては？
• RQ4 結合定数 $\beta \to -\infty$ のとき、解はどのように振る舞い、相分離が発生するか？
• RQ5 新たな二制約変分枠組みは、従来の手法の制限を克服し、ノード解の存在を証明する上で有効であるか？

主な発見

• $\Omega = \mathbb{R}^N$ または滑らかな有界領域の場合、無限に多くの回転対称な符号変化型解が存在する。
• 一つの成分が正で、もう一方が符号を変化させるような無限に多くの準ノード解が存在する。
• 有界領域では、各成分が正確に二つのノード領域を持つエネルギー最小の符号変化型解が存在する。
• $\beta \to -\infty$ のとき、解は相分離を示し、成分が互いに素な領域に集中する。
• 新たな二制約変分法は、所望のノード構造を持つ解を効果的に構成でき、従来の手法の制限を克服した。
• 変形流れとジャンル理論による臨界点構造の検証により、無限に多くの解の存在が保証された。