[論文レビュー] Infinitely many sign-changing solutions for the nonlinear Schrödinger-Poisson system

Zhaoli Liu, Zhi-Qiang Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 10被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、降下流れの不変集合の方法を用いて、$ℝ^3$ における非線形シュレーディンガー＝ポアソン系に無限個の符号変化解が存在することを確立している。従来の結果を拡張し、$p \in (3,4)$ の場合——これは、べき乗型非線形項 $f(u) = |u|^{p-2}u$ に対して、これまでほとんど知られていなかった困難なケース——をカバーしており、対称性の仮定やネハリ多様体への依存なしに多重性を示している。

ABSTRACT

We investigate the existence of multiple bound state solutions, in particular sign-changing solutions. By using the method of invariant sets of descending flow, we prove that this system has infinitely many sign-changing solutions. In particular, the nonlinear term includes the power-type nonlinearity $f(u)=|u|^{p-2}u$ for the well-studied case $p\in(4,6)$, and the less-studied case $p\in(3,4)$, and for the latter case few existence results are available in the literature.

研究の動機と目的

• 非線形シュレーディンガー＝ポアソン系が $`\mathbb{R}^3`$ に無限個の符号変化解を有することを、対称性の仮定なしに確立すること。
• 従来の存在結果を、べき乗型非線形項 $f(u) = |u|^{p-2}u$ に対して未だ十分に研究されていなかった $p \in (3,4)$ の場合に拡張すること。
• ネハリ多様体に依存しない手法を構築し、従来の変分的アプローチの制限を克服すること。
• ポテンシャル $V(x)$ および非線形項 $f(u)$ に対して一般な条件下で、複数の符号変化解の存在を証明すること。

提案手法

• シュレーディンガー＝ポアソン系に関連するエネルギー汎関数の臨界点を構成するために、降下流れの不変集合の方法を用いる。
• 臨界ケース $p \in (3,4)$ を取り扱うために、非線形項 $f(u) = |u|^{p-2}u + \lambda |u|^{r-2}u$ にパrameter $\lambda$ を導入した摂動論法を採用する。
• トポロジー的条件を満たすために、エネルギー空間への等変写像 $\varphi_n$ の族を構成する。
• 変形補題とコンパクト性の議論を用いて、$\lambda \to 0^+$ の極限に移行し、元の問題の解を回復する。
• $V(x)$ の強制性とアモルセッティ＝ラビノウィッツ型の条件（$f_3$）を用いて、パライス＝スモールー列の有界性と弱収束性を保証する。
• $L^q(\mathbb{R}^3)$（$q \in [2,6)$）および $\mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^3)$ における関連ポテンシャル $\phi_u$ での強収束性を用いて、極限に移行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形シュレーディンガー＝ポアソン系が $`\mathbb{R}^3`$ に非対称性の仮定なしに無限個の符号変化解を有することを証明できるか？
• RQ2 従来の手法が失敗する $p \in (3,4)$ の場合に、符号変化解の存在を拡張することは可能か？
• RQ3 ネハリ多様体に依存しない形で、複数の符号変化解の存在を確立できるか？
• RQ4 降下流れの不変集合の方法は、一般の非線形項を有する非局所的シュレーディンガー＝ポアソン系にどのように適用可能か？

主な発見

• 条件 $V(x)$ が強制的で、$f(u)$ が $f_1$--$f_3$ を満たし、$\mu > 4$ である限り、系は無限個の符号変化解を有する。
• 本手法は、かつてあまり研究されていなかった $p \in (3,4)$ の場合を効果的にカバーしており、この分野における存在結果が著しく拡張された。
• 解は回転対称性や群不変性の仮定なしに得られており、従来の結果が要求していた制約を越えて一般化されている。
• エネルギー汎関数の臨界点が $\lambda \to 0^+$ のときソボレフ空間 $E$ で強収束することを示し、元の問題の非自明解が得られる。
• エネルギー汎関数の臨界値 $c_j$ は $\lim_{j \to \infty} c_j = \infty$ を満たし、無限個の異なる解の存在が確認される。
• ネハリ多様体への依存を回避することで、符号変化解を有する非局所的問題に対する新しい変分的枠組みが提供された。