[論文レビュー] Infinitely many solutions for p-Laplacian equation involving double critical terms and boundary geometry

Chunhua Wang, Chang-Lin Xiang|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有界領域における $ p $-ラプラシアンと境界幾何の制約を伴う、Sobolev 型およびハーディー型の二重臨界項を含む非線形楕円型方程式に対して、無限個の解の存在を確立する。近似問題と摂動法、およびグローバルコンパクトネス解析を用いて、$ N > p^2 + p $、$ a(0) > 0 $、かつ $ 0 \notin \bar{\text{int}}(\bar{\text{dom}}) $ の場合に境界における曲率条件を満たす領域では、既存の半線形結果を非線形の場合へ拡張する。

ABSTRACT

Let $1p^{2}+p,a(0)>0$ and $Ω$ satisfies some geometry conditions if $0\in\partialΩ$, say, all the principle curvatures of $\partialΩ$ at $0$ are negative, then the above problem has infinitely many solutions.

研究の動機と目的

• 二重臨界非線形項（Sobolev 型およびハーディー型）を含む非線形 $ p $-ラプラシアン方程式に対して、半線形の場合（$ p=2 $）の無限個の解の存在を、非線形の場合（$ 1 < p < N $）に拡張すること。
• 特に $ 0 \notin \text{int}(\bar{\text{dom}}) $ の場合に、原点における主曲率の符号が解の存在に与える影響を存在理論に組み込むこと。
• 高エネルギー領域におけるパライス＝スモール条件の不成立を、摂動法を用いて解消すること。
• 近似解に対してグローバルコンパクトネス結果を確立し、集中現象を分析すること。
• 幾何的および構造的条件下で、近似解 $ u_{\theta,l} $ が $ W_0^{1,p}(\bar{\text{dom}}) $ 内で強く収束することを証明し、元の問題の解の存在を保証すること。

提案手法

• パラメータ $ \tilde{\theta} > 0 $ を用いて、指数を $ p^* - \tilde{\theta} $ および $ p^*(s) - \tilde{\theta} $ に摂動させた近似問題を導入し、パライス＝スモール条件を回復すること。
• 偶関数でパライス＝スモール条件を満たすエネルギー汎関数 $ I_\theta $ に対して、対称的マウンテンパス補題を適用すること。
• 爆発解析と $ \rho_{x,\theta}(u) = \theta^{(N-p)/p} u(\theta(\bullet - x)) $ を用いたスケーリングにより、集中の型を同定すること。
• 比較原理と付録 B の減衰推定を用いて、無限遠における解の減衰推定を確立すること。
• グローバルコンパクトネス分解（命題 D.1）を適用し、近似問題の有界な解列が、弱収束解、有限個のバブル（それぞれ $ \bR^N $ もしくは $ \bR^N_* $ 内の解に対応）、および $ W_0^{1,p} $ 内で消える余剰項に分解されることを示すこと。
• カファレッリ＝コーン＝ニレングェルクの不等式およびソボレフの不等式を用いて、エネルギー汎関数のすべての項が適切に定義され、非線形項の成長が制御されることを保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形 $ p $-ラプラシアン方程式に二重臨界非線形項（Sobolev 型およびハーディー型）を含む場合に、非線形領域で無限個の解の存在を確立できるか？
• RQ2 特に $ 0 \notin \text{int}(\bar{\text{dom}}) $ の場合に、領域の幾何構造、特に原点における主曲率の符号が、無限個の解の存在にどのように影響を与えるか？
• RQ3 近似解列 $ u_{\theta,l} $ が $ \theta \to 0 $ のとき $ W_0^{1,p}(\bar{\text{dom}}) $ 内で強く収束する条件は何か？ これにより、元の問題の解の存在が保証される。
• RQ4 係数 $ a(x) $ が $ x=0 $ の近傍で果たす役割は、無限個の解の存在を可能にするためにどのようなものか？
• RQ5 グローバルコンパクトネス結果を用いて、非自明なバブル形成を除外し、近似解の極限が元の問題の真の解であることを保証できるか？

主な発見

• 問題は $ N > p^2 + p $、$ a(0) > 0 $、かつ $ \bar{\text{dom}} $ が $ 0 \notin \text{int}(\bar{\text{dom}}) $ の場合に原点におけるすべての主曲率が負である境界幾何条件を満たす限り、無限個の解をもつ。
• 指数摂動 $ \theta > 0 $ を用いた近似問題は、エネルギー汎関数がパライス＝スモール条件を満たすため、対称的マウンテンパス補題により無限個の解をもつ。
• エネルギー準位 $ c_{\theta,l} $ が有界で、領域が曲率条件を満たす限り、近似解列 $ u_{\theta,l} $ は $ \theta \to 0 $ のとき $ W_0^{1,p}(\bar{\text{dom}}) $ 内で強く収束する。
• グローバルコンパクトネス結果（命題 D.1）により、近似問題の任意の有界解列は、弱収束解、有限個のバブル（$ \bar{\text{dom}} $ もしくは $ 0 $ に集中する点に対応）、および $ W_0^{1,p} $ 内で消える余剰項に分解される。
• 各バブルは、$ \bR^N $ もしくは $ \bR^N_* $ 内の極限問題の解に対応し、後者の場合 $ 0 \notin \text{int}(\bar{\text{dom}}) $ のときに生じる。これらの解は $ -\triangle_p u = b_j \nu |u|^{p^*-2}u $ または $ -\triangle_p u = b_j \nu |u|^{p^*-2}u + b_j |u|^{p^*(s)-2}u / |x|^s $ を満たす。
• 比較法および付録 B の減衰推定を用いて、無限遠における解の減衰推定 $ |u(x)| \to 0 $ が $ |x| \to \infty $ のとき、$ |x|^{-(N-p)/(p-1)} $ の速度で成立することが示された。