[論文レビュー] Infinitely presented graphical small cancellation groups are acylindrically hyperbolic

Dominik Gruber, Alessandro Sisto|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 39被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、無限に提示されたグラフィカルな Gr(7)-小畳み込み群が、古典的 C(7) および C′(1/6)-群に拡張して、非一様的双曲的であることを証明している。著者たちは、ケイリ図にコーン・オフを施して双曲的空間 Y を構成し、幾何的群論的手法を用いて非一様的双曲性を確立し、特異な発散関数と非相対的双曲的構造を持つ新しい群の例を導出する。

ABSTRACT

We prove that infinitely presented graphical $Gr(7)$ small cancellation groups are acylindrically hyperbolic. In particular, infinitely presented classical $C(7)$-groups and, hence, classical $C'(\frac{1}{6})$-groups are acylindrically hyperbolic. We also prove the analogous statements for the larger class of graphical small cancellation presentations over free products. We construct infinitely presented classical $C'(\frac{1}{6})$-groups that provide new examples of divergence functions of groups.

研究の動機と目的

• 無限に提示されたグラフィカルな Gr(7)-小畳み込み群に対する非一様的双曲性を確立すること。
• 古典的 C(7) および C′(1/6)-群への結果の拡張、これはグラフィカル表現の特別な場合であることを示すこと。
• 複雑な発散関数、特に任意の非指数関数的関数を超える超線形成長を示す群の新しい例を構成すること。
• 非退化な双曲的埋め込み部分群を含む、有限生成で非相対的双曲的である群の存在を示すこと。
• 任意の有限生成無限群を、非相対的双曲的群に非退化な双曲的埋め込み部分群として埋め込むための構成的技法を提供すること。

提案手法

• ラベル付きグラフ Γ から、閉路に沿って読まれる語として関係式をとるグラフィカル小畳み込み群 G(Γ) を定義する。
• G(Γ) のケイリ図にコーン・オフを施して、G(Γ) が作用する双曲的空間 Y を生成する。
• 埋め込まれたサイクル・グラフの交差パターンを分析することで、非一様的双曲性の幾何的基準を適用する。
• 明示的な経路とサイクルを構成し、Y における作用が非一様的であり、有界でない軌道を持つことを示す。
• 相対的デーン関数と図式的議論を用いて、構築された群における双曲的埋め込み部分群の正当性を検証する。
• 自由積上の小畳み込みを活用して、制御された漸近的および幾何的性質を持つ群を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限に提示されたグラフィカルな Gr(7)-群は非一様的双曲的か？
• RQ2 有限生成群の発散関数が、任意の非指数関数的関数を超える超線形成長を示すことができるか？
• RQ3 任意の有限生成無限群を、非相対的双曲的群に非退化な双曲的埋め込み部分群として埋め込むことができるか？
• RQ4 グラフィカル小畳み込みを用いて構成された古典的 C′(1/6)-群は非一様的双曲的か？
• RQ5 自由積上の小畳み込みによって構築された群の幾何的および漸近的性質は何か？

主な発見

• 無限に提示されたグラフィカルな Gr(7)-ラベル付き群は、無限的巡回群に至るまで非一様的双曲的である。
• すべての無限に提示された古典的 C(7)-群および C′(1/6)-群は非一様的双曲的である。
• 本論文は、任意の与えられた非可算な非指数関数的関数の集合を超える上限を有する発散関数を持つ、無限に提示された古典的 C′(1/6)-群の明示的例を構成している。
• 同じ群は、二次多項式で有界される下限を持つ発散関数を持つ。
• 定理 5.2 の群 G(I) は、任意の真部分群の集合に関して双曲的ではない。
• すべての有限生成無限群は、非自明に相対的双曲的でない有限生成群に非退化な双曲的埋め込み部分群として埋め込める。