[論文レビュー] Infinitely supported Liouville measures of Schreier graphs

Kate Juschenko, Tianyi Zheng|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、可算集合上の群作用におけるLiouville性質の同値条件を確立し、シュライエル図の無限台付きLiouville測度を構成する手法を導入する。Thompson群Fが、無限台付き対称測度に関して、dyadic rationalsへの作用がLiouville的であることを証明し、非可換なシュライエル図上でのラムプライト群作用が、同様にLiouville的であることを示し、非可換Liouville作用の新しい例を提供する。

ABSTRACT

We provide equivalent conditions for Liouville property of actions of groups. As an application, we show that there is a Liouville measure for the action of the Thompson group $F$ on dyadic rationals. This result should be compared with a recent result of Kaimanovich, where he shows that the action of the Thompson group F on dyadic rationals is not Liouville for all finitely supported measures. As another application we show that there is a Liouville measure for lamplighter actions. This gives more examples of non-amenable Liouville actions.

研究の動機と目的

• 可算集合上の群作用におけるLiouville性質の同値条件を提供すること。
• 有限台付き測度ではLiouville的でないが、非退化で無限台付きLiouville測度を有する作用の存在を示すこと。
• Thompson群Fが、dyadic rationalsへの作用に対して、対称的かつ無限台付きのLiouville測度を有することを示すこと。
• 特定の無限台付き測度の下で、非可換なシュライエル図がLiouville的であるような例を構成すること、特にラムプライト群作用を対象とする。
• このような測度が、群や作用の可換性に与える影響を検討し、特にThompson群Fに関するKaimanovichの結果と関連付けること。

提案手法

• シュライエル図上の無作為かつ遅延付きマコフ連鎖に対して、尾σ-代数の自明性とLiouville性質が同値であることを用いる。
• 遷移確率の収束に基づくカップリング論法を適用する：もし測度μ^(n)·xとμ^(n)·y間の全 Variation 距離が0に収束するならば、作用はLiouville的である。
• 有限台付き測度(ν_n)の凸結合を用いた構成的技法を用いる。ここでν_nは、空間Xの有限部分集合K_n上での作用を誤差ε_n → 0で近似する。
• 支持が増大し、カップリング誤差が減少する測度(ζ_j)の列を用いて、G上に非退化な測度μを構成し、その作用がμ-Liouville的であるようにする。
• Thompson群Fにこの手法を適用する際、1/2の軌道の有限部分集合をシュライエル図上の「毛」に写像し、生成子がZのように作用することで、一様な測度近似が可能になる。
• アーベル群Aの可換性を用いて、ラムプライト群へ拡張する。まずA上でℓ¹-変動が小さい測度ν_nを構成し、その後、半直積G ⋉ Aへと持ち上げる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Thompson群Fのdyadic rationalsへの作用は、有限台付き測度ではLiouville的でないが、非退化で無限台付きのLiouville測度を有する可能性はあるか？
• RQ2 非可換なシュライエル図が、無限台付き測度の下でLiouville的である例はあるか？
• RQ3 群作用のLiouville性質は、遷移測度の全 Variation 距離に関するカップリング条件によって特徴付けられるか？
• RQ4 作用にLiouville測度が存在することは、群またはその安定化部分群の可換性を示唆するのか？
• RQ5 推移的空間の有限部分集合への群作用が、いつLiouville的のままであるか？

主な発見

• Thompson群Fに、非退化で対称的かつ無限台付きの測度μが存在し、1/2の軌道（dyadic rationals）への作用がμ-Liouville的である。
• Kaimanovichの結果により、Fのdyadic rationalsへの作用は、任意の非退化有限台付き測度ではLiouville的でないが、無限台付きにすることでLiouville的になる。
• 任意の可換群Gと可換正規部分群Aに対して、半直積G ⋉ Aは、Aへの作用に対して非退化なLiouville測度を有する。
• 特定のラムプライト群のシュライエル図（例：ℤ/2ℤ ≀ G）は非可換的であるが、ある無限台付き測度μの下でLiouville的である。
• 有限台付き測度ν_nの列を用いて、空間の有限部分集合K_n上で、カップリング誤差ε_n → 0に減少するように、このような測度を構成する。
• 構成法により、2つの隣接点からのnステップ分布間の全 Variation 距離が0に収束することが保証され、これによりLiouville性質が導かれる。