[論文レビュー] Infinitesimal bialgebras, pre-Lie and dendriform algebras

Marcelo Aguiar|ArXiv.org|Nov 5, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用数 45

ひとこと要約

この論文は、無限小バイアリューブラ代数、前Lie代数、および木型代数の間で予期しない関係を確立する。任意の無限小バイアリューブラ代数は、積 $ a \circ b = b_1 a b_2 $ を通じて自然に前Lie代数を誘導し、クェーシュトライアングルな無限小バイアリューブラ代数は、$ x \succ y = \sum_i u_i x v_i y $、$ x \prec y = \sum_i x u_i y v_i $ を通じて木型代数を誘導する。これにより、$ \text{End}(A) $ 上に、畳み込み積と合成積を組み合わせた自然な木型代数構造が得られる。

ABSTRACT

We introduce the categories of infinitesimal Hopf modules and bimodules over an infinitesimal bialgebra. We show that they correspond to modules and bimodules over the infinitesimal version of the double. We show that there is a natural, but non-obvious way to construct a pre-Lie algebra from an arbitrary infinitesimal bialgebra and a dendriform algebra from a quasitriangular infinitesimal bialgebra. As consequences, we obtain a pre-Lie structure on the space of paths on an arbitrary quiver, and a striking dendriform structure on the space of endomorphisms of an arbitrary infinitesimal bialgebra, which combines the convolution and composition products. We extend the previous constructions to the categories of Hopf, pre-Lie and dendriform bimodules. We construct a brace algebra structure from an arbitrary infinitesimal bialgebra; this refines the pre-Lie algebra construction. In two appendices, we show that infinitesimal bialgebras are comonoid objects in a certain monoidal category and discuss a related construction for counital infinitesimal bialgebras.

研究の動機と目的

• 無限小バイアリューブラ代数、前Lie代数、および木型代数の間の新しい構造的関係を確立すること。
• 無限小ホップモジュールおよびバイモジュールを無限小ダブル構成のモジュールとして定義・研究し、それらが無限小ダブル上のモジュールに対応することを示すこと。
• 畳み込みに類似した積 $ a \circ b = b_1 a b_2 $ を用いて、任意の無限小バイアリューブラ代数から前Lie代数構造を構成すること。
• アソシエイティブ・ヤン・バクスター方程式の解を用いて、クェーシュトライアングルな無限小バイアリューブラ代数から木型代数への構成を拡張すること。
• クェーシュトライアングルな $ \epsilon $-バイアリューブラ代数 $ A $ の自己準同型代数 $ \text{End}(A) $ が、畳み込み積と合成積を組み合わせた自然な木型代数構造を誘導することを示すこと。

提案手法

• 無限小ダブル構成のモジュールとして無限小ホップモジュールおよびバイモジュールを定義し、有限次元の場合に等価性が成り立つことを示す。
• 任意の無限小バイアリューブラ代数 $ A $ に対して、$ \Delta(a) = a_1 \otimes a_2 $ を用いて、$ a \circ b = b_1 a b_2 $ で定義される操作により前Lie代数を構成する。
• アソシエイティブ・ヤン・バクスター方程式の解 $ r = \sum u_i \otimes v_i $ を持つクェーシュトライアングルな $ \epsilon $-バイアリューブラ代数に対して、木型作用 $ x \succ y = \sum_i u_i x v_i y $、$ x \prec y = \sum_i x u_i y v_i $ を定義する。
• $ \epsilon $-バイアリューブラ代数 $ A $ のドリンフェルトダブル $ (A \otimes A^*) \oplus A \oplus A^* $ が自然にクェーシュトライアングルな $ \epsilon $-バイアリューブラ代数構造を備え、$ \text{End}(A) $ 上に木型代数構造を誘導することを示す。
• 部分空間 $ A \otimes A^* \subset \text{End}(A) $ が木型作用に関して閉じていることを示し、$ \text{End}(A) $ 上の木型代数構造の明示的公式を導出する。
• クェーシュトライアングルな $ \epsilon $-バイアリューブラ代数を含む可換図式を用いて、前Lie代数と木型代数の構成の整合性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の無限小バイアリューブラ代数は、自然に前Lie代数構造を備えうるか？
• RQ2 クェーシュトライアングルな無限小バイアリューブラ代数がどのような条件下で木型代数構造を誘導するか？
• RQ3 クェーシュトライアングルな $ \epsilon $-バイアリューブラ代数 $ A $ の自己準同型代数 $ \text{End}(A) $ は、ダブル構成からどのように木型代数構造を誘導するか？
• RQ4 無限小ホップバイモジュールと無限小ダブル上のモジュールの間にはどのような関係があるか？
• RQ5 $ A $ がクェーシュトライアングルであるとき、$ \text{End}(A) $ から $ A $ への木型代数の準同型が自然に存在するか？

主な発見

• 任意の無限小バイアリューブラ代数 $ A $ は、$ a \circ b = b_1 a b_2 $ を通じて自然に前Lie代数構造を誘導する。これは、差分の除算によるウィット代数を一般化する。
• 解 $ r = \sum u_i \otimes v_i $ を持つクェーシュトライアングルな $ \epsilon $-バイアリューブラ代数に対して、$ x \succ y = \sum_i u_i x v_i y $、$ x \prec y = \sum_i x u_i y v_i $ により $ A $ 上に木型代数構造が定義される。
• $ \epsilon $-バイアリューブラ代数 $ A $ のドリンフェルトダブル $ (A \otimes A^*) \oplus A \oplus A^* $ は自然にクェーシュトライアングルな $ \epsilon $-バイアリューブラ代数構造を備え、$ \text{End}(A) $ 上に木型代数構造を誘導する。
• 自己準同型代数 $ \text{End}(A) $ は、畳み込み積と合成積を組み合わせた、$ T \succ S = (\text{id} * T * \text{id})S + (\text{id} * T)(S * \text{id}) $、$ T \prec S = T(\text{id} * S * \text{id}) + (T * \text{id})(\text{id} * S) $ で定義される自然な木型代数構造を誘導する。
• $ A $ がクェーシュトライアングルであるとき、$ \text{End}(A) $ から $ A $ への木型代数の準同型が自然に存在し、両者の構成を結びつける。
• 単位的およびクェーシュトライアングルな $ \epsilon $-バイアリューブラ代数のクラスは互いに素である：単位的でもあるクェーシュトライアングルな $ \epsilon $-バイアリューブラ代数は、自明（すなわちゼロ）でなければならない。