[論文レビュー] Infinitesimal deformations of symmetric simple modular Lie algebras and Lie superalgebras

Sofiane Bouarroudj, Pavel Grozman+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、正の特性を持つ代数的に閉じた体上の対称的単純なモジュラーリー代数およびリー超代数の無限小変形を、SuperLie Mathematicaパッケージを用いて調査する。すべての奇コサイクルが積分可能変形をもたらすことが示され、偶数コサイクルは常に積分可能とは限らない。積分可能である場合には、グローバル変形はパラメータに関して線形である。特性2では、3次元の単純リー代数が非同型な連続的1パラメータ族の変形を許容する。また、チェボチコが以前に発見した20個の無限小変形から得られる2つのグローバル変形によって、G(2)の特定の変種が導かれることが示された。

ABSTRACT

Abstract. Over algebraically closed fields of positive characteristic, infinitesimal deformations of simple finite dimensional symmetric (the ones that with every root have its opposite of the same multiplicity) Lie algebras and Lie superalgebras are described for small ranks. The results are obtained by means of the Mathematica based code SuperLie. The infinitesimal deformation given by any odd cocycle is integrable. The moduli of the deformations form, in general, a supervariety. Not each even cocycle is integrable; but for those that are integrable, the global deforms (the results of deformations) are linear with respect to the parameter. In characteristic 2, the simple 3-dimensional Lie algebra admits a parametric family of non-isomorphic simple deforms. Some of Shen’s ”variations of G(2) theme ” are interpreted as two global deforms corresponding to the several of the 20 infinitesimal deforms first found by Chebochko; we give their explicit form. 1.

研究の動機と目的

• 代数的に閉じた正の特性を持つ体上での小規模なランクにおける対称的単純有限次元リー代数およびリー超代数の無限小変形を分類すること。
• どの無限小変形が積分可能であるかを特定し、それらによって得られる変形代数のグローバル構造を記述すること。
• 既知のG(2)の変種を、以前に特定された無限小変形から生じるグローバル変形として解釈すること。
• 変形のモジュライ空間を解析し、それが一般にスーパemanifold（超多様体）を形成することを示すこと。

提案手法

• 本研究では、Mathematicaに実装されたSuperLieコンピュータ代数システムを用いて、対称的モジュラーリー代数および超代数のコホモロジーと変形データを計算する。
• 無限小変形は、リー代数の随伴加群を係数とするコホモロジーを用いて分析され、奇数および偶数のコサイクルに焦点を当てる。
• コサイクルの積分可能性は、変形が形式的べき級数変形に拡張可能かどうかを確認することで評価される。
• 変形のモジュライ空間の構造を解析し、奇数パラメータの存在により一般にスーパemanifold（超多様体）であることが示された。
• 積分可能な偶数コサイクルに対応するグローバル変形の明示的形が導出され、これらが変形パラメータに関して線形であることが示された。
• 既知のG(2)の変種は、チェボチコの20個の無限小変形から生じる2つの特定のグローバル変形と同一視されることにより、再解釈された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称的モジュラーリー代数および超代数の無限小変形のうち、どの変形が積分可能であり、それによって得られるグローバル変形の構造はいかなるものか？
• RQ2 変形のモジュライ空間はどのように振る舞い、なぜ一般にスーパemanifold（超多様体）を形成するのか？
• RQ3 既知のG(2)の変種は、以前に特定された無限小変形から体系的に導出可能か？
• RQ4 対称的モジュラーリー代数の変形理論において、奇数コサイクルと偶数コサイクルの役割は何か？
• RQ5 特性2において、特に低ランクの場合、非同型な単純変形の連続的族はどのような形で生じ得るか？

主な発見

• 奇数コサイクルから生じるすべての無限小変形は積分可能であり、これによりこれらのケースではグローバル変形が存在することが保証される。
• 積分可能な偶数コサイクルに対しては、対応するグローバル変形は変形パラメータに関して線形であることが示され、単純な代数的構造を示している。
• 特性2では、3次元の単純リー代数が非同型な連続的1パラメータ族の単純変形を許容する。
• 変形のモジュライ空間は一般にスーパemanifold（超多様体）を形成しており、これは変形パラメータのスーパーアルジブラ的性質を反映している。
• シェンの「G(2)テーマの変種」のいくつかは、チェボチコの20個の無限小変形から得られる2つのグローバル変形に対応することが明示的に示された。
• これらのG(2)関連の変種を実現する2つのグローバル変形の明示的形が提供され、それらの代数的構造が確認された。