[論文レビュー] Infinitesimal Differential Geometry

Paolo Giordano|ArXiv.org|Aug 13, 2003

Algebraic and Geometric Analysis被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、微分幾何学における無限小法の形式化を、非標準的・合成的アプローチを避け、標準的解析的手法のみを用いて行う。$^\bullet\mathbb{R}$ と呼ばれる拡張実数体を、nilpotent 無限小量（$h^2 = 0$）を含む厳密な構成によって定義する。この枠組みを用いて、有限次元の $\mathcal{C}^n$ 多様体のカテゴリへの完全で、カルテジアン閉じた埋め込みを定義し、接ベクトルやベクトル場といった無限小的対象を、無限小曲線や変換として内因的に表現する。これにより、局所座標を用いず、無限次元の写像空間への直接的かつ内因的なアプローチが可能になる。

ABSTRACT

Using standard analysis only, we present an extension ${^\bullet\R}$ of the real field containing nilpotent infinitesimals. On the one hand we want to present a very simple setting to formalize infinitesimal methods in Differential Geometry, Analysis and Physics. On the other hand we want to show that these infinitesimals may be also useful in infinite dimensional Differential Geometry, e.g. to study spaces of mappings. We define a full embedding of the category Man${}^n$ of finite dimensional $\mathcal{C}^n$ manifolds in a cartesian closed category. In it we have a functor ${}^\bullet (-)$ which extends these spaces adding new infinitesimal points and with values in another full cartesian closed embedding of Man${}^n$. We present a first development of Differential Geometry using these infinitesimals.

研究の動機と目的

• 非標準的・合成的アプローチを避け、標準的解析のみを用いて微分幾何学における無限小法を形式化すること。
• 古典的数学の枠組み内で、nilpotent 無限小量（$h^2 = 0$）を含む、実数体の厳密な拡張 $^\bullet\mathbb{R}$ を構成すること。
• 有限次元の $\mathcal{C}^n$ 多様体のカテゴリ上で、無限小近傍や接構造を内因的にモデル化する完全でカルテジアン閉じた函手 $(-)^{D_\alpha}$ を定義すること。
• 写像空間 $\mathrm{Man}(M,N)$ のような無限次元空間へこの枠組みを直接適用し、局所座標に依存せずにベクトル場や接対象を無限小変換として扱うこと。

提案手法

• 滑らか関数 $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ の同値類として $^\bullet\mathbb{R}$ を構成し、$f \sim g$ であるとは $f(0) = g(0)$ かつ $f'(0) = g'(0)$ であることを意味する。これにより一次の挙動が捉えられる。
• $D_\alpha$ を $^\bullet\mathbb{R}^n$ の部分集合として定義し、すべての $i$ に対して $x_i^{\alpha_i + 1} = 0$ を満たすものとする。これは高階の無限小近傍をモデル化する。
• $M^{D_\alpha}$ を、$f \in \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}^n, M)$ に対して $^\bullet f|_{D_\alpha}$ の形の一般化された元の集合として定義する。これは接バンドルを一般化する $\mathcal{C}^\infty$ 的対象を形成する。
• 評価を $\mathbb{R}^n$ の原点 $0$ で行うことで、$\mathbf{Man}^n \to \mathbf{Man}^n$ への函手 $(-)^{D_\alpha}$ を定義し、積を保存し、引き戻しと整合するようにする。
• $(-)^{D_\alpha}$ が代数 $\mathbb{R}[x_1,\dots,x_n]/\langle x_i^{\alpha_i+1} \rangle$ を持つ Weil 函手であることを証明し、古典的微分幾何学と整合することを保証する。
• カルテジアン閉じた構造を用いて、$M^{D_\alpha \times D_\beta} \simeq (M^{D_\alpha})^{D_\beta}$ のような高階無限小を定義し、反復的な無限小構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的解析の枠組み内で、余項のない一次のテイラー展開を形式化するため、nilpotent 無限小量を厳密に構成可能か？
• RQ2 無限小曲線を用いて、$^\bullet\mathbb{R}$ 上で接バンドルや高階接構造を内因的に表現できるか？
• RQ3 有限次元の $\mathcal{C}^n$ 多様体のカテゴリに対して、完全でカルテジアン閉じた埋め込みを構成可能か？ その際、無限小的対象が保存されかつ拡張されるか？
• RQ4 この枠組みを、$\mathrm{Man}(M,N)$ のような無限次元写像空間に、局所座標やチャートに依存せずに直接適用可能か？
• RQ5 函手 $(-)^{D_\alpha}$ は Weil 函手か？ その関連代数的構造は何か？

主な発見

• 環 $^\bullet\mathbb{R}$ は、滑らか関数の商として構成され、$f \sim g$ とは $f(0) = g(0)$ かつ $f'(0) = g'(0)$ であることを意味する。これにより、無限小量 $h$ に対して $h^2 = 0$ が保証される。
• 任意の $f \in \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ に対して、$D = \{x \in {}^\bullet\mathbb{R} \mid x^2 = 0\}$ に属するすべての $h$ に対して $f(h) = f(0) + h f'(0)$ が成り立つ。これは余項のない一次のテイラー展開を形式化する。
• 導関数 $f'(0)$ は、すべての $h \in D$ に対して $f(h) = f(0) + h \cdot m$ を満たす $m$ の一意性によって、この設定下で接線の傾きの一意性が保証される。
• 函手 $(-)^{D_\alpha}$ は代数 $\mathbb{R}[x_1,\dots,x_n]/\langle x_i^{\alpha_i+1} \rangle$ を持つ Weil 函手であり、積と引き戻しを保存する。これにより、微分幾何学と整合性が保証される。
• 二階接バンドル $M^{D \times D}$ は $\mathbb{R}^{\bar{D}}$ に同型であり、$\bar{D} = D(10) \times D(01) \times D(11)$ である。その元は偏微分および混合微分に対応する増分差分を符号化する。
• この構成により、ベクトル場を無限小変換として、接ベクトルを無限小曲線として内因的に扱うことができ、無限次元の写像多様体上での微分幾何学を局所座標に依存せずに直接的かつ内因的に定式化できる。