[論文レビュー] Infinitesimal Fourier Transformation for The Space of Functionals

Takashi Nitta, Tomoko Okada|ArXiv.org|May 13, 2004

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非標準拡張空間上の汎関数に対して、超有限格子と二重非標準拡張（${}^{\bullet}({}^*\bbR)$）を用いた無限小フーリエ変換を導入する。内部関数を用いて超有限グリッド上の汎関数をモデル化することで、キノシタとゴードンの無限小フーリエ変換を無限次元の汎関数へ一般化し、変換の標準部が古典的フーリエ変換に収束することを証明した。非標準的設定におけるデルタ関数の振る舞いやガウス積分の近似についても重要な結果を得た。

ABSTRACT

The purpose is to formulate a Fourier transformation for the space of functionals, as an infinitesimal meaning. We extend ${\bf R}$ to $ ^{\star}(^{\ast}{\bf R})$ under the base of nonstandard methods for the construction. The domain of a functional is the set of all internal functions from a $ ^{\ast}$-finite lattice to a $ ^{\ast}$-finite lattice with a double meaning. Considering a $ ^{\ast}$-finite lattice with a double meaning, we find how to treat the domain for a functional in our theory of Fourier transformation, and calculate two typical examples.

研究の動機と目的

• 関数から汎関数へと拡張された先行研究を踏まえ、汎関数の空間におけるフーリエ変換の非標準解析的枠組みを構築すること。
• ファインマン経路積分における高階無限小の必要性に対応するため、実数の二重拡張 $^{\bullet}({}^*\bbR)$ を導入すること。
• 内部関数を用いて超有限グリッド上に定義された汎関数に対する厳密な無限小フーリエ変換を定義すること。
• キノシタとゴードンの離散的フーリエ変換を汎関数設定へ一般化し、デルタ関数に類する汎関数に対して $F\tilde{\rho} = 1$ のような重要な性質を保つこと。
• 標準部写像を用いて非標準的変換が古典的フーリエ変換に収束することを示し、特にガウス型およびデルタ型の汎関数に対してその収束を検証すること。

提案手法

• 関数空間に必要な高階無限小と無限大を扱えるよう、非標準解析を用いて実数を $^{\bullet}({}^*\bbR)$ に拡張する。
• 汎関数の定義域を、超有限グリッド $[-H/2, H/2)$ から $[-H'/2, H'/2)$ への内部関数としてモデル化し、汎関数の離散的近似を可能にする。
• キノシタとゴードンのインスピレーションを受けて離散的フーリエ変換を採用：$(F\tilde{\rho})(p) = \frac{1}{H} \text{sum over } z \text{ in } [-H^2/2, H^2/2) \text{ of } \text{exp}(-2\tilde{\rho}ipz/H) \tilde{\rho}(z/H)$。
• 非標準的変換の標準部写像（st）を適用することで、古典的フーリエ変換の振る舞いを回復し、$M \to \tilde{\rho}^{-1}$ および $M \tilde{\rho} \to \tilde{\rho}^{-1}$ のような条件下で収束を示す。
• 超有限和と非標準解析を用いて、$\bbR$ 上の積分を近似する。例えば、$\text{st}\big(\text{sum over } z \text{ of } \tilde{\rho} \text{exp}(-\tilde{\rho}^2 z^2)\big) = \text{int}_{-\bbR} \text{exp}(-x^2)dx = 1$。
• 指数和の上界を用いて誤差項を解析し、離散和と連続積分の差が $^{\bullet}({}^*\bbR)$ 内で無限小であることを示す。例えば、$\tilde{\rho} \to 0$ のとき $| \text{sum} - \text{int} | \to 0$。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非標準解析を用いて、無限次元空間上の汎関数に対して、どのように厳密にフーリエ変換を定義できるか？
• RQ2 二重拡張 $^{\bullet}({}^*\bbR)$ を通じて得られる高階無限小は、一貫性のある汎関数フーリエ変換を可能にする上で果たす役割は何か？
• RQ3 非標準的フーリエ変換の標準部が、古典的フーリエ変換に収束するか？
• RQ4 デルタ関数に類する汎関数は、無限小フーリエ変換においてどのように振る舞い、$F\tilde{\rho} = 1$ を満たすか？
• RQ5 ガウス型またはコンパクトな台を持つ汎関数に対して、離散的非標準変換が連続的フーリエ変換をどれほど良く近似できるかを保証する条件は何か？

主な発見

• ガウス型汎関数に対して、無限小フーリエ変換の標準部は古典的フーリエ変換に収束する。具体的には、$\text{st}(\text{st}(C_2(b))) = 1$ が成り立つ。
• 無限小デルタ汎関数 $\tilde{\rho}$ の変換は $F\tilde{\rho} = 1$ を満たし、古典的性質が非標準設定へと拡張されている。
• 離散和と連続積分の誤差は $^{\bullet}({}^*\bbR)$ 内で無限小であり、$\text{exp}(\tilde{\rho}^2) \times 2\tilde{\rho} \times \text{指数和の和}$ のような項で上界が与えられ、標準部では消える。
• ガウス型汎関数に対して、非標準的和 $\text{sum}_z \tilde{\rho} \text{exp}(-\tilde{\rho}^2 z^2)$ の標準部は 1 に等しく、$\text{int}_{-\bbR} \text{exp}(-x^2)dx = 1$ と一致する。
• ガウス関数とコサイン項の積の変換は、古典的積分 $\text{int} \text{exp}(-\tilde{\rho}^2(x^2 - b^2)) \text{cos}(2\tilde{\rho} b x) dx$ に収束し、誤差は無限小の式で抑えられる。
• 逆変換の性質も保たれる：$(1 + 1/(N \text{int} \text{exp}(-\tilde{\rho}^2 x^2)dx))^{N} \to \text{exp}(-\text{int} \text{exp}(-\tilde{\rho}^2 x^2)dx)$ であり、$N$ が無限大のときその標準部は 1 に等しい。