[論文レビュー] Infinitesimal generators of invertible evolution families

Yoritaka Iwata|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2016

Matrix Theory and Algorithms参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、バナッハ空間における可逆な発展族の一般に非有界な無限小生成作用素を特徴付けるために、対数表現と前無限小生成作用素の概念を導入する。収束するべき乗級数表現を対数変換を用いて活用することで、このような生成作用素が解析的半群に対応することを確立し、有界またはセクタリアル作用素に限らない理論への拡張を達成する。

ABSTRACT

A logarithm representation of operators is introduced as well as a concept of pre-infinitesimal generator. Generators of invertible evolution families are represented by the logarithm representation, and a set of operators represented by the logarithm is shown to be associated with analytic semigroups. Consequently generally-unbounded infinitesimal generators of invertible evolution families are characterized by a convergent power series representation.

研究の動機と目的

• 可逆な発展族の一般に非有界な無限小生成作用素に対する特徴付けの欠如に対処すること。
• セクタリアル作用素に限らない発展族へ対数関数的計算を拡張すること。
• 非有界生成作用素の基礎的概念として前無限小生成作用素を導入すること。
• 非有界作用素によって生成される発展族の収束するべき乗級数表現を確立すること。
• 対数表現と解析的半群、および最大正則性の関係を明確にすること。

提案手法

• マルチ値的および特異的性質を扱うために、ダンフォースト積分と対数関数の主値分枝を用いた作用素の対数表現を導入する。
• 弱収束としての時間微分 $ \partial_t U(t,s) $ の弱極限として $ A(t) $ を定義し、非有界生成作用素の解析を可能にする。
• $ A(t) = \partial_t U(t,s) U(s,t) $ を通じて $ A(t) $ と対数関数との関係を確立し、生成作用素と発展族のダイナミクスを結びつける。
• 対数表現を用いて $ e^{a(t,s)} $ の収束するべき乗級数を導出し、発展族 $ U(t,s) $ を $ e^{a(t,s)} - \kappa I $ の形で表現する。
• デュハメルの原理と強い収束の議論を用いて、局所ホルダー連続な非同次項へ解表現を拡張する。
• 得られた発展族が、$ A(t) $ に関する適切な条件下で $ L^p $ 空間において最大正則性を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可逆な発展族の非有界無限小生成作用素は、有界またはセクタリアル作用素の枠組みを超えて特徴付け可能か？
• RQ2 セクタリアル性質を満たさない発展族に対し、対数関数的計算をどのように拡張できるか？
• RQ3 べき乗級数による非有界生成作用素の表現において、前無限小生成作用素 $ A(t) $ が果たす役割は何か？
• RQ4 非有界生成作用素に対して、発展族の収束するべき乗級数表現が成り立つ条件は何か？
• RQ5 対数表現が、非有界生成作用素を有する発展方程式に対して最大正則性をどの程度保証するか？

主な発見

• 対数表現により、可逆な発展族の非有界無限小生成作用素が収束するべき乗級数展開によって特徴付けられることを示した。
• 前無限小生成作用素 $ A(t) $ は $ U(t,s) $ の弱時間微分として定義され、無限小生成作用素であるための必要条件ではあるが十分条件ではないことが示された。
• 発展族 $ U(t,s) $ は $ e^{a(t,s)} - \kappa I $ の形で表現可能であり、ここで $ a(t,s) $ は収束するべき乗級数を持つ適切に定義された作用素値関数である。
• 非同次発展方程式 $ \partial_t u(t) = A(t)u(t) + f(t) $ の解は、$ \sum_{n=0}^\infty \frac{a(t,s)^n}{n!} - \kappa I $ を含む表現を持つことが示され、これは局所ホルダー連続な $ f $ に対して有効である。
• 生成作用素 $ A(t) $ が作用素ノルムで連続であり、$ D(A(t)) = D(A(0)) $ を満たす場合、理論により $ L^p $ 型の最大正則性が保証され、古典的結果が拡張された。
• $ A(t) $ と $ U(t,s) $ の可換性条件は極めて重要であり、$ t $-非依存かつ可分な場合に自然に満たされるため、適用範囲が広がる。